4. Cho $\Delta $ABC cân tại A có $\widehat{A}=100^{\circ}$. Gọi d là đường trung trực của AC, vẽ điểm D đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Tính số đo $\widehat{CDB}$
5. Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}$. Gọi E là điểm đối xứng của điểm C qua trục AD và I là giao điểm của AD, BE. Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=\widehat{CID}$
6. Cho $\Delta $ABC có D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong $\Delta $ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình bình hành.
7. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O vẽ hai đường thẳng, một đường cắt hai cạnh AB, CD ở E và F. Đường kia cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành.
Bài Làm:
4.
d là đường trung trực của AC nên A đối xứng với C qua đường thẳng d.
Mà B đối xứng với D qua đường thẳng d nên AB đối xứng với CD qua đường thẳng d.
Lại có DB đối xứng với BD qua đường thẳng d
$\Rightarrow $ $\widehat{CDB}$ đối xứng với $\widehat{ABD}$ qua đường thẳng d
$\Rightarrow \widehat{CDB}=\widehat{ABD}$
$\Delta $ABC cân tại A có $\widehat{A}=100^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ABC}=40^{\circ}$
Có AC $\perp $ d và BD $\perp $ d $\Rightarrow $ AC // BD
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBD}=40^{\circ}$ (hai góc so le trong)
Ta được $\widehat{CDB}=\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=40^{\circ}+40^{\circ}=80^{\circ}$
Vậy $\widehat{CDB}=80^{\circ}$
5.
Ta có E đối xứng với C qua AD, I đối xứng với chính nó qua AD nên AI đối xứng với CI qua AD.
$\Rightarrow \widehat{EID}$ đối xứng với $\widehat{CID}$ qua AD
$\Rightarrow \widehat{EID}=\widehat{CID}$
Mà $\widehat{EID}=\widehat{AIB}$ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow $ $\widehat{CID}=\widehat{AIB}$
6.
M đối xứng với O qua D nên D là trung điểm của MO.
Mà D là trung điểm của AB (giả thiết)
$\Rightarrow $ tứ giác AMBO là hình bình hành.
$\Rightarrow $ BM // AO và BM = AO. (1)
N đối xứng với O qua E nên E là trung điểm của NO.
Mà E là trung điểm của AC (giả thiết)
$\Rightarrow $ tứ giác ANCO là hình bình hành.
$\Rightarrow $ CN // AO và CN = AO. (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ BM // CN và BM = CN
$\Rightarrow $ tứ giác MNCB là hình bình hành.
7.
O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD
$\Rightarrow $ AO = OC và OB = OD
Xét $\Delta $AEC và $\Delta $CFO có:
$\widehat{AOE}=\widehat{COF}$
OA = OC
$\widehat{OAE}=\widehat{OCF}$
$\Rightarrow $ $\Delta $AEC = $\Delta $CFO (g.c.g)
$\Rightarrow OF = OE $\Rightarrow $ O là trung điểm của EF (1)
Tương tự ta có $\Delta $DGO = $\Delta $BHO (g.c.g)
$\Rightarrow $ OG = OH $\Rightarrow $ O là trung điểm của GH (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ tứ giác GEHF là hình bình hành.