8. Trên đường phân giác ngoài đỉnh C của $\Delta $ABC, lấy điểm M khác C. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB
9. Cho tứ giác ABCD có góc ngoài đỉnh C bằng $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AB + BD > AC + CD
Bài Làm:
8.
Gọi d là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh C.
Vẽ thêm điểm E đối xứng với điểm A qua d bằng cách, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA ta được $\Delta $CAE cân tại C có d là phân giác của góc ở đỉnh nên d là đường trung trực của AE, do đó MA = ME.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta $MBE ta được:
MA + MB = ME + MB > BE = CE + CB = CA + CB
9.
Vẽ điểm E đối xứng với điểm A qua trục BC.
Do C đối xứng với C qua trục BC nên $\widehat{ACB}$ đối xứng với $\widehat{ECB}$ qua BC
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ECB}$. Hay $\widehat{ECB}$ là góc ngoài đỉnh C của tứ giác do đó D, C, E thẳng hàng.
Do đó DE = DC + CE (1)
Vì E đối xứng với A qua BC nên CA = CE (2), AB = BE (3)
Ta có: AB + BD = BD + BE (4)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta $BDE ta được DB + BE > DE (5)
Từ (1), (2), (4) và (5) suy ra AB + BD > AC + CD