A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chứng minh quan hệ về độ dài, ta sử dụng:
Tính chất về cạnh bên và đường chéo của hình thang cân.
Trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau và ngược lại.
Tính độ dài đoạn thẳng:
Chọn tam giác vuông thích hợp chứa đoạn thẳng rồi áp dụng định lí Py-ta-go.
Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK của hình thang. Chứng minh rằng DH = CK.
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa, tính chất và giải thiết vào hình thang cân ABCD ta được:
- $\widehat{D}=\widehat{C}$
- AD = BC
- $\widehat{H}=\widehat{K}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta $ADH = $\Delta $BCK (trường hợp cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow $ DH = CK
Ví dụ 2: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên AD = 5cm, các cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.
Hướng dẫn:
Kẻ $AH\perp DC;BK\perp DC$ thì AH // BK nên hình thang ABKH có hai cạnh bên song song.
$\Rightarrow $ AH = BK, HK = AB = 6cm
Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $ADH vuông tại H ta được:
$AD^{2}=DH^{2}+HA^{2}$ hay $5^{2}=4^{2}+HA^{2}$
$\Leftrightarrow HA^{2}=9\Leftrightarrow HA=3$(cm)
Vậy chiều cao của hình thang cân là 3cm.
B. Bài tập & Lời giải
1. Kéo dài hai cạnh bên của một hình thang cân (có hai đáy không bằng nhau) thì tam giác thu được có phải là tam giác cân hay không? Vì sao?
2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại P, các cạnh bên kéo dài cắt nhau theo tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ là đường trung trực của hai đáy.
3. Một hình thang cân có đáy lớn dài 2,7m, cạnh bên dài 1m, góc tạo bởi cạnh bên và đáy lớn bằng 60$^{\circ}$. Tính độ dài của đáy nhỏ.
4. Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh BC và DB là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 4cm.