Cách giải bài toán dạng: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích tính một yếu tố của hình chóp đều

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính tiện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tính của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d

Trong đó p là nửa chu vi đáy

               d là trung đoạn hình chóp đều

Diện tích toàn phần của hình chóp đều bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy:
S_tp = S_xq + S_đ

Ví dụ 1: Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên bằng 25cm, đáy là hình vuông ABCD cạnh 30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm của BC thì SM là đường cao của mặt bên SBC vì $\Delta $SBC cân ở S.

Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sđ

Ta có: Sđ = $30^{2}$ = 900 (cm$^{2}$)

       Sxq = p.d với p = 2.30 = 60 (cm)

Ta cần tính trung đoạn d = SM.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $SCM vuông ở M, ta được:

$SC^{2}=CM^{2}+SM^{2}$ hay $25^{2}=15^{2}+SM^{2}$

$\Leftrightarrow SM=20$ (cm)

Do đó Sxq = 60.20 = 1200 (cm$^{2}$)

Vậy Stp = 1200 + 900 = 2100 (cm$^{2}$)

2. Tính thể tích, tính một yếu tố của hình chóp tứ giác đều

Thường sử dụng các kết quả sau:

Cạnh của hình vuông bằng a thì diện tích hình vuông bằng $a^{2}$

Cạnh của hình vuông bằng a thì đường chéo của hình vuông là d = $a\sqrt{2}$

Đường chéo của hình vuông là d thì diện tích của hình vuông là $\frac{d^{2}}{2}$

Ví dụ 2: Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH = 12cm, cạnh bên SB = 13cm.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp:

V = $\frac{1}{3}$S.h

Theo giả thiết h = SH = 12 (cm)

Ta còn phải tính S = $\frac{BD^{2}}{2}$

Vì SH là đường cao của chóp đều nên SH $\perp $ BD. Hay $\Delta $SHB vuông tại H.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $SHB vuông ở H ta được:

$SB^{2}=HB^{2}+SH^{2}$ hay $13^{2}=BH^{2}+12^{2}\Leftrightarrow BH=5$ (cm)

$\Rightarrow $ BD = 2.5 = 10 (cm)

Do đó diện tích đáy hình chóp đều là S = $\frac{BD^{2}}{2}=\frac{10^{2}}{2}=50$ ($cm^{2}$)

Vậy thể tích của hình chóp tứ giác đều là:

V = $\frac{1}{3}$.50.12 = 200 (cm$^{3}$)

3. Tính thể tích, tính một yếu tố của hình chóp tam giác, lúc giác đều

Thường sử dụng các kết quả sau:

• $\Delta $ABC đều có đường cao AI thì AI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường trung trực nên trực tâm H vừa là trọng tâm, tâm vòng tròn ngoại tiếp của tam giác. Do đó AH = $\frac{2}{3}$AI; HI = $\frac{1}{3}$AI.
• Tam giác đều cạnh a có chiều cao là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
• Tam giác đều cạnh a có diện tích là $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
• Lục giác đều cạnh a có diện tích bằng 6 lần diện tích tam giác đều cạnh a, tức là $\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Ví dụ 3: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy BC = 6cm, các cạnh bên bằng $\sqrt{15}$cm.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp: V = $\frac{1}{3}$S.h

Theo giả thiết cạnh đáy của tam giác đều là BC = 6cm nên ta có:

AI = $\frac{\sqrt{3}}{2}$BC = 3$\sqrt{3}$ (cm)

SABC = $\frac{BC^{2}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ (cm$^{2}$)

Kẻ đường cao SH của hình chóp đều ta có:

BH = AH = $\frac{2}{3}$.AI = 2$\sqrt{3}$ (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $SHB vuông ở H ta được:

$SB^{2}=HB^{2}+SH^{2}$ hay $(\sqrt{15})^{2}=SH^{2}+(2\sqrt{3})^{2}$

$\Leftrightarrow SH^{2}=(\sqrt{3})^{2}\Leftrightarrow SH=\sqrt{3}$ (cm)

Vậy thể tích của hình chóp là:

V = $\frac{1}{3}.9\sqrt{3}.\sqrt{3}=\frac{9.3}{3}=9$ (cm$^{3}$)