A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta sử dụng bất đẳng thức trong tam giác. Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
0 $\leq $ |a-b| < c < a + b
0 $\leq $ |b-c| < a < b + c
0 $\leq $ |c-a| < b < c + a
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong môt tứ giác:
a) Mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.
b) Tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Hướng dẫn:
Ta đặt độ dài các cạnh như trên hình vẽ thì chu vi tứ giác ABCD là a + b + c + d.
a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC và ADC ga có:
AC < AB + BC hay AC < a + b
AC < AD + DC hay AC < c + d
$\Rightarrow 2AC < \frac{a+b+c+d\left ( a+b+c+d \right )}{2}$
Tương tự ta có: $BD < \frac{a+b+c+d\left ( a+b+c+d \right )}{2}$
Vậy mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác chứa hai cặp cạnh đối nhau AB, CD là $\Delta $OAB và $\Lambda $OCD ta được:
OA + OB > AB hay OA + OB > a
OC + OD > CD hay OC + OD > c
$\Rightarrow $ OA + OB+OC+OD > a+b. Hay AB + CD > a + c
Tương tự ta có: AC + BD > d+d
Vậy tổng hai đường chéo lơn hơn tổng hai cạnh đối.
B. Bài tập & Lời giải
1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác ấy.
2. Tìm điểm M trong tứ giác ABCD sao cho tổng các khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất.