A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta có: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu biểu thức không âm và bằng số đối của nó nếu biểu thức âm:
|A| = A nếu A $\geq $ 0 và A = -A nếu A $\leq $ 0
Vì thế, để khử dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xét các giá trị của biến làm cho biểu thức âm hay không âm (tức là xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối)
Ta có định lí dấu của nhị thức bậc nhất ax + (a $\neq $ 0):
Cùng dấu với hệ số a với những giá trị lớn hơn nghiệm của nhị thức
Trái dấu với hệ số a với những giá trị của x bé hơn nghiệm của nhị thức.
Khi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta nên sử dụng kết hợp các phép biến đổi tương đương, khái niệm giá trị tuyệt đối, định lí dấu nhị thức bậc nhất để biến đổi phương trình đã cho về phương trình đơn giản đã biết cách giải. Từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) |x+3| = 3x+1
b) |x-4| + 3x = 5
Hướng dẫn:
a) |x+3| = 3x+1 (1)
Ta có: |x+3| = x+3 khi x $\geq $ -3 và |x+3| = -x-3 khi x $\leq $ -3
Vậy để giải (1) ta quy về giải 2 phương trình sau:
+) x+3 = 3x-1 với điều kiện x $\geq $ -3
$\Leftrightarrow $ 2x = 4
$\Leftrightarrow $ x = 2 (thỏa mãn x $\geq $ -3)
Do đó x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
+) -x-3 = 3x-1 với điều kiện x $\leq $ -3
$\Leftrightarrow $4x = -2
$\Leftrightarrow $ x = -$\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện x $\geq $ -3)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2
b) |x-4| + 3x = 5 (2)
+) |x-4| = x-4 khi x $\geq $ 4. Khi đó:
(2) $\Leftrightarrow $ x-4+3x=5
$\Leftrightarrow $ 4x=9
$\Leftrightarrow $ x = $\frac{9}{4}$ (không thỏa mãn x $\geq $ 4)
+) |x-4| = 4-x khi x $\leq $ 4. Khi đó:
(2) $\Leftrightarrow $ 4-x+3x=5
$\Leftrightarrow $ 2x=1
$\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn x $\leq $ 4)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{1}{2}$
Ví dụ 2: Giải phương trình |x-1| = |3x-5|
Hướng dẫn:
Ta có thể giải bằng phương pháp dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối |A| = |B| $\Leftrightarrow $ A = $\pm $B
Việc giải phương trình đưa về giải hai phương trình sau:
+) x-1 = 3x-5 $\Leftrightarrow $ x=2
+) x-1 = 5-3x $\Leftrightarrow $ x = $\frac{2}{3}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 2 và x = $\frac{2}{3}$
B. Bài tập & Lời giải
1. Giải các phương trình sau:
a) |3x| = x + 8
b) 2x = |4x+8|
c) |x-3| - x = 7
d) |x+2| = 3-5x
2. Giải các phương trình sau:
a) |x-1| = |x-5|
b) |x-1| = |3x-5|
c) |x-4| + |x+1| = 9
d) |x-3| + |x+4| = 2
e) |x| - |2x+3| = x-1