Cách giải bài toán dạng: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán lớp 8

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức

Để giải phương trình này là làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (điều kiện của ẩn để các mẫu số khác 0)
• Bước 2: Quy đồng mẫu số ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu số.
• Bước 3: Giải phương trình nhận được (không còn chứa ẩn ở mẫu số)
• Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{3x-2}{x+7}=\frac{6x+1}{2x-3}$

b) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{x^{2}-1}$

Hướng dẫn:

a) $\frac{3x-2}{x+7}=\frac{6x+1}{2x-3}$ (1)

 ĐKXĐ: $x\neq \frac{3}{2};x\neq -7$

(1) $\Leftrightarrow \frac{(3x-2)(2x-3)}{(x+7)(2x-3)}=\frac{(6x+1)(x+7)}{(x+7)(2x-3)}$

    $\Leftrightarrow 6x^{2}-9x-4x+6=6x^{2}+42x+x+7$

    $\Leftrightarrow 56x=-1$

    $\Leftrightarrow x=-\frac{1}{56}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{56}$

b) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{x^{2}-1}$ (2)

 ĐKXĐ: $x\neq \pm 1$

(2) $\Leftrightarrow \frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}$

    $\Leftrightarrow x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1=4$

    $\Leftrightarrow 4x=4$

    $\Leftrightarrow x=1$ (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức A = $\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}$ có giá trị bằng 2

Hướng dẫn:

A = $\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}$

ĐKXĐ: $x\neq -3; x\neq -\frac{1}{3}$

A = $\frac{(3x-1)(x+3)+(x-3)(3x+1)}{(3x+1)(x+3)}$

  = $\frac{3x^{2}+8x-3+3x^{2}-8x-3}{(3x+1)(x+3)}$

  = $\frac{6x^{2}-6}{(3x+1)(x+3)}$

A = 2 $\Rightarrow \frac{6x^{2}-6}{(3x+1)(x+3)}=2$

Hay $6x^{2}-6=2(3x+1)(x+3)$

  $\Leftrightarrow 6x^{2}-6=6x^{2}+20+6\Leftrightarrow 20x=-12\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy $x=\frac{-3}{5}$ thì biểu thức A có giá trị bằng 2.