Cách giải bài toán dạng: Tính chất đường phân giác trong tam giác

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính độ dài đoạn thẳng

- Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

- Áp dụng định lý Py-ta-go.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC có AB = 5cm, BC = 7cm và CA = 6cm. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt cạnh BC ở E. Tính các đoạn EB, EC.

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\Delta $ABC và tính chất dãy tính số bằng nhau ta được:

$\frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

Hay $\frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}$

$\Rightarrow EB= \frac{35}{11}$ (cm) $EC=\frac{42}{11}$ (cm)

2. Tính số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác

- Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng

- Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của $\widehat{AMB}$ cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của $\widehat{AMC}$ cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC.

Hướng dẫn:

Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt BM = MC = a.

Áp dụng tính chất của các đường phân giác MD và ME vào $\Delta $AMB và $\Delta $AMC ta được:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AM}{MB}=\frac{AM}{a}$

$\frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MC}=\frac{AM}{a}$

$\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$

Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của $\Delta $ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên DE // BC (theo định lí Ta-lét đảo)