1. Cho $\Delta $ABC vuông ở A, đường phân giác AD. Tính độ dài AB, AC biết DB = 15cm; DC = 20cm.
2. Cho $\Delta $ABC có AB = 30cm; AC = 45cm; BC = 50cm, đường phân giác AD. Tính độ dài BD, DC.
3. Cho $\Delta $ABC vuông ở A, đường phân giác BD. Tính độ dài BD, biết AB = 6cm, BC = 10cm.
4. Cho $\Delta $ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 15cm; AC = 20cm. Tia phân giác của $\widehat{HAB}$ cắt HB ở D, tia phân giác của $\widehat{HAC}$ cắt HC ở E. Tính độ dài của các đoạn AH, HD và HE.
Bài Làm:
1.
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\Delta $ABC, ta được:
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ hay $\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow $ AB = 3t và AC = 4t (với t>0)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $ABC vuông ở A ta được:
$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}$
Hay $35^{2}=(3t)^{2}+(4t)^{2}$
$\Leftrightarrow 35^{2}=25t^{2}$
$\Rightarrow t=7$
Vậy AB = 7.3 = 21 (cm); AC = 7.4 = 28 (cm)
2.
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\Delta $ABC, ta được:
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow BD=\frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}.50=20$ (cm)
$CD=\frac{3}{5}BC = \frac{3}{5}.50=30$ (cm)
3.
Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\Delta $ABC ta được:
$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{CB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\Rightarrow $ AD = 3t; DC = 5t
Do đó AC = AD + DC = 8t
Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $ABD vuông ở A, ta được:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$
$\Leftrightarrow 10^{2}=(8t)^{2}+6^{2}$
$\Rightarrow $ t = 1
$\Rightarrow $ AD = 3cm
Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $ABD vuông tại A ta được:
$DB^{2}=DA^{2}+AB^{2}$ hay $BD^{2}=3^{2}+6^{2}$
$\Rightarrow BD = 3\sqrt{5}$
4.
Trước hết ta đi tính BC và AH.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta $ABC vuông ở A, ta được:
$BC^{2}=CA^{2}+AB^{2}$ hay $BC^{2}=15^{2}+20^{2}\Leftrightarrow BC^{2}=25^{2}$
$\Leftrightarrow $ BC = 25 (cm)
Đặt BD = x thì DC = 25 - x.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào hai tam giác vuông AHB và AHC vuông ở H, ta được:
$AB^{2}=BH^{2}+HA^{2}$
$AC^{2}=CH^{2}+HA^{2}$
$\Rightarrow AB^{2}-BH^{2}=AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$
$\Rightarrow 15^{2}-x^{2}=20^{2}-(25-x)^{2}$
$\Leftrightarrow 15^{2}-x^{2}-20^{2}+(25-x)^{2}=0$
$\Leftrightarrow 50x=450$
$\Leftrightarrow x=9$
Nên HC = 25 - 9 = 16 (cm)
$\Rightarrow AH^{2}=15^{2}-9^{2}=12^{2}$
$\Rightarrow AH = 12$ (cm)
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\Delta $ABH ta được:
$\frac{DB}{DH}=\frac{BA}{HA}$ hay $\frac{DB}{DH}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$
$\Rightarrow \frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
$\frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}=\frac{DB+DH}{5+4}=\frac{BH}{9}=\frac{9}{9}=1$
$\Rightarrow $ DH = 4 (cm)
Áp dụng tính chất của đường phân giác AE vào $\Delta $ACH, ta được:
$\frac{EC}{EH}=\frac{CA}{HA}$ hay $\frac{EC}{EH}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$
$\Rightarrow \frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
$\frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}=\frac{EC+EH}{3+5}=\frac{CH}{8}=\frac{16}{8}=2$
$\Rightarrow $ HE = 6cm