Cách giải bài toán dạng: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng ax + b > 0 (hoặc $ax + b < 0, ax+b\leq 0, ax+b\geq 0$), trong đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, $a\neq 0$.

Giải bất phương trình là đi tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình đó.

Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình, ta có thể:

Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số dương.

Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số âm và đổi chiều của bất phương trình.

* Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất phương trình đã cho về bất phương trình bậc nhất đơn giản, nghiệm của bất phương trình đó là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 3x - 5 < 4

b) 3 - 4x $\geq $ 19

Hướng dẫn:

a) 3x - 5 < 4 $\Leftrightarrow $ 3x < 9 $\Leftrightarrow $ x < 3

Vậy x < 3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) 3 - 4x $\geq $ 19 $\Leftrightarrow $ -4x $\geq $ 16 $\Leftrightarrow $ 4x $\leq $ -16 $\Leftrightarrow $ x $\leq $ -4

Vậy x $\leq $ -4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình $ax + 1 \geq a^{2}+x$ với a là tham số.

Hướng dẫn:

$ax + 1 \geq a^{2}+x\Leftrightarrow ax-x\geq a^{2}-1\Leftrightarrow (a-1)x\geq a^{2}-1$

Nếu a-1>0 hay a>1 thì bất phương trình đã cho có nghiệm $x\geq \frac{a^{2}-1}{a-1}\Leftrightarrow x\geq a+1$

Nếu a-1<0 hay a<1, bất phương trình đã cho có nghiệm là $x\leq \frac{a^{2}-1}{a-1}\Leftrightarrow x\leq a+1$

Nếu a-1=0 hay a=1 thì bất phương trình có dạng $0x\geq 0$ luôn đúng với mọi x.