Cách giải bài toán dạng: Vận dụng một số hằng đẳng thức đáng nhớ để giải một số bài tập Toán lớp 8

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Thực hiện phép tính

- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.

- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.

- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn).

Ví dụ 1: Tính $(a^{2}-1)(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1)$

Hướng dẫn:

  $(a^{2}-1)(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1)$

= $(a+1)(a-1)(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1)$

= $[(a+1)(a^{2}-a+1)].[(a-1)(a^{2}+a+1)]$

= $(a^{3}+1)(a^{3}-1)$

= $a^{6}-1$

2. Rút gọn biểu thức

- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.

- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.

- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết quả (thường thì kết quả rất gọn).

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: $(x-y+z)^{2}+(z-y)^{2}+2(x-y+z)(y-z)$

Hướng dẫn:

  $(x-y+z)^{2}+(z-y)^{2}+2(x-y+z)(y-z)$

= $(x-y+z)^{2}-2(x-y+z)(z-y)+(z-y)^{2}$

= $[(x-y+z)-(z-y)]^{2}$

= $x^{2}$

3. Tính nhanh

- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.

- Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.

- Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả.

Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức sau:

$(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$

Hướng dẫn:

  $(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$

= $\frac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$

= $\frac{1}{2}(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$

= $\frac{1}{2}(3^{8}-1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$

= $\frac{1}{2}(3^{16}-1)(3^{16}+1)$

= $\frac{1}{2}(3^{32}-1)$

4. Tính giá trị biểu thức

- Dựa vào hằng đẳng thức thu gọn biểu thức

- Thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn.

- Thực hiện phép tính các số ta có kết quả.

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 6; y = -4; z = 45

$x^{2}-2xy-4z^{2}+y^{2}$

Hướng dẫn:

Tại x = 6; y = -4; z = 45 ta có:

  $x^{2}-2xy-4z^{2}+y^{2}$

= $(x^{2}-2xy+y^{2})-4z^{2}$

= $(x-y)^{2}-(2z)^{2}$

= $(x-y-2z)(x-y+2z)$

= (6 + 4 + 90)(6+4-90)

= 100.(-80)

= -8000

5. Phân tích đa thức thành nhân tử

- Bản thân các hằng đẳng thức là ở dạng phân tích đa thức thành nhân tử.

- Dựa vào hằng đẳng thức để tìm ra nhân tử chung, hoặc nhóm hạng tử, hoặc tách hạng tử, hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.

- Biết kết hợp để đưa đa thức về dạng tích các đa thức.

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

  $x(y+z)^{2}+y(x+z)^{2}+z(x+y)^{2}-4xyz$

= $x(y^{2}+2yz+z^{2})+y(x^{2}+2xz+z^{2})+z(x+y)^{2}-4xyz$

= $xy^{2}+2xyz+xz^{2}+x^{2}y+2xyz+yz^{2}+z(x+y)^{2}-4xyz$

= $(xy^{2}+x^{2}y)+(xz^{2}+yz^{2})+z(x+y)^{2}$

= $xy(y+x)+z^{2}(x+y)+z(x+y)^{2}$

= $(x+y)(xy+z^{2}+zx + zy)$

= $(x+y)(y+z)(x+z)$