A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$, ta có:
$\frac{A}{B}$ = $\frac{C}{D}$ nếu A.D = B.C
Ví dụ 1: Ba phân thức sau có bằng nhau không?
$\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$ ; $\frac{x-3}{x}$ ; $\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$
Hướng dẫn:
Ta chỉ cần xét xem hai đẳng thức $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$ và $\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$ có đúng hay không.
+) $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$
$\Leftrightarrow (x^{2}-2x-3).x=(x-3).(x^{2}+x)$
$\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}-3x=x^{3}+x^{2}-3x^{2}-3x$
$\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}-3x=x^{3}-2x^{2}-3x$
Do đó $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$
+) $\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$
$\Leftrightarrow (x-3)(x^{2}-x)=x(x^{2}-4x+3)$
$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-3x^{2}+3x=x^{3}-4x^{2}+3x$
$\Leftrightarrow x^{3}-4x^{2}+3x=x^{3}-4x^{2}+3x$
Do đó $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$
Vậy 3 phân thức đã cho bằng nhau.
Ví dụ 2: Cho ba đa thức: $x^{2}-4x; x^{2}+4,x^{2}+4x$. Hãy chọn một đa thức thích hợp điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:
$\frac{...}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$
Hướng dẫn:
Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau ta có:
$(...).(x-4) = x(x^{2}-16)$ hay $(...).(x-4) = x^{3}-16x$
Cách 1: Lần lượt thay 3 đa thức đã cho vào chỗ trống của biểu thức $(...)(x-4)$ ở vế trái ta được:
$(x^{2}-4x)(x-4)=x^{3}-8x^{2}+16x$
$(x^{2}+4)(x-4)=x^{3}-4x^{2}+4x-16$
$(x^{2}+4x)(x-4)=x^{3}-16x$
Vậy đa thức cần điền là $x^{2}+4x$
Cách 2: Gọi A là đa thức cần chọn, ta có:
$A.(x-4)=x(x^{2}-16)$
$\Leftrightarrow A(x-4)=x(x-4)(x+4)$
$\Leftrightarrow A=x(x+4)$
$\Leftrightarrow A=x^{2}+4$
Vậy đa thức cần điền là $x^{2}+4x$
B. Bài tập & Lời giải
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1$
b) $\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}$
c) $\frac{x^{3}-4x^{2}+8}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}-2x-4}{x+2}$
d) $\frac{x^{2}-xy-x+y}{x^{2}+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
2. Chứng tỏ rằng:
a) $x^{3}+1$ chia hết cho x+1
b) $\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x+1}$
3. a) Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có $(n^{3}-n)\vdots 3$
b) Áp dụng: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên a, b ta luôn có $(a^{3}b-ab^{3})\vdots 6$