Cách giải bài toán dạng: Giải phương trình tích Toán lớp 8

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương trình tích (một ẩn) là phương trình có dạng A(x).B(x).... = 0 (1)

trong đó A(x), B(x), ... là các đa thức.

Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đưa phương trình về dạng phương trình tích. Cách đặt ẩn phụ cũng hay được sử dụng để trình bày cho lời giải gọn gàng hơn.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $0,5x(x-3)=(x-3)(2,5x-4)$

b) $\frac{3}{7}x-1=\frac{1}{7}x(3x-7)$

Hướng dẫn:

a) $0,5x(x-3)=(x-3)(2,5x-4)$

 $\Leftrightarrow 0,5x(x-3)-(x-3)(2,5x-4)=0$

 $\Leftrightarrow (x-3)(0,5x-2,5x+4)=0$

 $\Leftrightarrow (x-3)(-2x+4)=0$

 $\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=2$

b) $\frac{3}{7}x-1=\frac{1}{7}x(3x-7)$

 $\Leftrightarrow \frac{1}{7}(3x-7)-\frac{1}{7}x(3x-7)=0$

 $\Leftrightarrow (3x-7)(\frac{1}{7}-\frac{1}{7}x)=0$

 $\Leftrightarrow x=\frac{7}{3}$ hoặc $x=1$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $(x^{2}-5x)^{2}+10(x^{2}-5x)+24=0$

b) $x(x+1)(x^{2}+x+1)=42$

Hướng dẫn:

a) Đặt t = $x^{2}-5x$ ta có phương trình:

 $t^{2}+10t+24=0$

$\Leftrightarrow (t+4)(t+6)=24$

$\Leftrightarrow t=-4$ hoặc $t=-6$

+) t = -4 $\Rightarrow x^{2}-5x=-4\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$

+) t = -6 $\Rightarrow x^{2}-5x=-6\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x=1; x=2; x=3; x=4.

b) $x(x+1)(x^{2}+x+1)=42$

  $\Leftrightarrow (x^{2}+x)(x^{2}+x+1)=42$

Đặt t = $x^{2}+x$, ta có:

 $t(t+1)=42$

$\Leftrightarrow t^{2}+t-42=0$

$\Leftrightarrow (t-6)(t+7)=0$

$\Leftrightarrow t=6$ hoặc $t=-7$

+) t = 6 $\Rightarrow x^{2}+x=6\Leftrightarrow (x-2)(x+3)=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-3$

+) t = -7 $\Rightarrow x^{2}+x=-7\Leftrightarrow x^{2}+x+7=0\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{27}{4}=0$ (vô lí)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = -3