Cách giải bài toán dạng: Vận dụng phép đối xứng trục, đối xứng tâm để chứng minh các quan hệ hình học

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Vẽ hình đối xứng qua trục, qua tâm. Chứng minh hai hình đối xứng qua trục, qua tâm

Ta sử dụng định nghĩa của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.

- Đối xứng trục:

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d  gọi là trục đối xứng qua hai hình đó.

- Đối xứng tâm

Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) D đối xứng với E qua AH.

b) $\Delta $ADC đối xứng với $\Delta $AEB qua AH.

Hướng dẫn:

a) Vì $\Delta $ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH là tia phân giác của $\widehat{A}$

Lại có AD = AE do giả thiết nên $\Delta $ADE cân tại A. Suy ra AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

b) Vì AH là đường cao của $\Delta $ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC suy ra B đối xứng với C qua AH. E đối xứng với D qua AH.

Lại có A đối xứng với A qua AH nên $\Delta $ADC đối xứng với $\Delta $AEB qua AH.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A và F là điểm đối xứng với D qua điểm C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.

Hướng dẫn:

Vẽ các điểm E và F sao cho A là trung điểm của DE hay DA = AE (1); C là trung điểm của DF hay DC = CF (2) thì E đối xứng với D qua A và F đối xứng với D qua C.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC

$\Rightarrow $ AE // BC (3) và DA = BC (4)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow $ AE = BC (5)

Từ (3) và (5) $\Rightarrow $ tứ giác ACBE có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành ACBE ta được:

AC // BE và AC = BE  (6)

Chứng minh tương tự ta được tứ giác ACBF là hình bình hành nên AC // BF ; BF = AC (7)

Từ (6) và (7) $\Rightarrow $ E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

2. Nhận dạng hai hình đối xứng qua trục, qua tâm để chứng minh hai hình bằng nhau

Ta sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.

* Tính chất thừa nhận của phép đối xứng trục:

Nếu các điểm A và A', B và B', C và C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C' nằm giữa A' và B'. Tính chất này cho phép ta vẽ hai hình đối xứng với nhau qua một trục.

Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.

* Tính chất thừa của phép đối xứng tâm cũng giống như các tính chất thừa của phép đối xứng trục.

Ví dụ 3: Cho $\Delta $ABC có $\widehat{A}=50^{\circ}$, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE

b) Tính số đo góc $\widehat{DAE}$

Hướng dẫn:

a) Vì D đối xứng với M qua AB, E đối xứng với M qua AC theo giả thiết và A đối xứng với A qua AB, AC nên AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.

Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta được:

• AM = AD
• AM = AE

$\Rightarrow $ AD = AE

b) Theo câu a) ta có $\widehat{A_{1}}$ đối xứng với $\widehat{A_{2}}$ qua AB, $\widehat{A_{3}}$ đối xứng với $\widehat{A_{4}}$ qua AC. Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục ta có:

• $\widehat{A_{1}}$ = $\widehat{A_{2}}$
• $\widehat{A_{3}}$ = $\widehat{A_{4}}$

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}+\widehat{A_{4}}=\widehat{A_{2}}+\widehat{A_{3}}=\widehat{A}=50^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{DAE}=100^{\circ}$

3. Vẽ thêm điểm đối xứng qua trục để chứng minh quan hệ về độ dài

- Ta vẽ thêm điểm đối xứng qua trục.

- Áp dụng tính chất hai hình đối xứng qua một trục.

- Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác.

Ví dụ 4: Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với A qua d và D là giao điểm của d với đoạn thẳng BC. Vẽ điểm E bất kì trên d (E khác D). Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

Hướng dẫn:

Vì C đối xứng với A qua d nên DA = DC. Do đó:

• AD + DB = CD + DB = CB (1)
• AE + EB = CE + EB (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta $BCE ta có CB < CE + EB (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow $ AD + DB < AE + EB