Cách giải bài toán dạng: Tính diện tam giác và chứng minh các hệ thức liên quan

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính toán, chứng minh hệ thức về diện tích tam giác

- Áp dụng công thức và các kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

Công thức tính diện tích tam giác là: S = $\frac{1}{2}$ah

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB ; ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ A, B, C của $\Delta $ABC thì:

S = $\frac{ah_{a}}{2}=\frac{bh_{b}}{2}=\frac{Ch_{c}}{2}$

Kết quả thu đuộc  từ công thức tính diện tích tam giác:

• Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau 
• Hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỉ số của hai chiều cao tương ứng.
• Hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỉ số của hai cạnh tương ứng.

- Sử dụng định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

- Áp dụng tính chất cộng diện tích.

Ví dụ 1: Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Từ đó hãy tính diện tích một tam giác đều có cạnh bằng a.

Hướng dẫn:

Xét $\Delta $ABC cân ở A có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. 

Kẻ AH $\perp $ BC thì H là trung điểm cạnh BC theo tính chất của tam giác cân nên BH = $\frac{a}{2}$

Áp dụng công thức tính diện tích vào $\Delta $ABC ta được:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}a.AH$

Ta cần tính thêm chiều cao AH.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $ABH vuông ở H thu được $AB^{2}=BH^{2}+HA^{2}$ hay $b^{2}=\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+HA^{2}$

$\Leftrightarrow HA^{2}=\frac{4b^{2}-a^{2}}{4}\Leftrightarrow HA=\frac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2}$ (vì HA>0)

Vậy $S_{ABC} = \frac{a\sqrt{4b^{2}}-a^{2}}{4}$, từ đó suy ra diện tích của tam giác đều có cạnh là a là:

S = $\frac{a\sqrt{4a^{2}-a^{2}}}{4}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$

2. Sử dụng công thức diện tích để tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh hệ thức hình học

- Ta tính diện tích tam giác bằng hai cách.

- Vì mỗi tam giác chỉ có một diện tích nên hai kết quả đó bằng nhau. Từ đó thu được một hệ thức liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Phương pháp này thường gọi là phương pháp diện tích. (Như vậy diện tích là chiếc cầu nối giữa các yếu tố trong tam giác).

- Áp dụng các tính chất về diện tích, các kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC cân tại A có BC = 30cm, đường cao AH = 20cm. Hãy tính chiều cao ứng với cạnh bên.

Hướng dẫn:

Kẻ BK $\perp $ AC, ta phải tính độ dài BK. Trước hết ta đi tính cạnh bên AC.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $AHC vuông ở H ta được $AC^{2}=CH^{2}+AH^{2}$.

Hay $AC^{2}=15^{2}+20^{2}=625\Rightarrow AC=25$ (cm)

Ta có diện tích $\Delta $ABC bằng:

S = $\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}BK.AC$

$\Rightarrow AH.BC=BK.AC\Leftrightarrow BK=\frac{AH.BC}{AC}=\frac{20.30}{25}=24$(cm)

3. Tìm diện tích lớn nhất của một hình

- Nếu diện tích của một hình nhỏ hơn hoặc bằng (không lớn hơn) một hằng số M và tồn tại một ví trí của hình để diện tích của nó bằng M thì M là diện tích lớn nhất của hình đó. Kí hiệu masS = M

- Nếu diện tích của một hình lớn hơn hoặc bằng (không nhỏ hơn) một hằng số m và tồn tại một ví trí của hình để diện tích của nó bằng m thì m là diện tích nhỏ nhất của hình đó. Kí hiệu minS = m

- Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

- Từ hằng đẳng thức thu được các kết quả:

$4ab=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\leq (a+b)^{2}$ với mọi cặp số thực a, b

$2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}\geq (a+b)^{2}$ với mọi cặp số thực a, b 

Ví dụ 3: Tìm diện tích lớn nhất của $\Delta $ABC biết AB = 3cm, BC = 4cm.

Hướng dẫn:

Kẻ AH $\perp $ BC thì AB và AH là đường xiên, đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

Do đó đường vuông góc AH là đường ngắn nhất hay AH $\leq $ AB.

$\Rightarrow  S = \frac{1}{2}AH.BC\leq \frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}.3.4=6(cm^{2})$

Vậy diện tích lớn nhất của $\Delta $ABC là S = $6cm^{2}$ khi AH = AB $\Leftrightarrow $ AB $\perp $ BC $\Leftrightarrow $ $\Delta $ABC vuông tại A.