Cách giải bài toán dạng: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác thường để tính toán

- Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c) chứng minh hai góc bằng nhau

• Ta chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa vào tỉ lệ ba cạnh tương ứng của hai tam giác.
• Dựa vào định nghĩa và giả thiết để tính toán thỏa mãn những yêu cầu bài toán.

- Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (g-c-g) để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai góc bằng nhau.

• Ta chọn ra hai góc bằng nhau, sắp thứ tự hai cạnh tạo nên mỗi góc đó
• Lập hai tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì kết luận đồng dạng.
• Từ định nghĩa tam giác đồng dạng suy ra tỉ số đồng dạng, các góc tương ứng bằng nhau.

- Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (g-g) để tính độ dài đoạn thẳng

• Chứng minh hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau.
• Áp dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng.

- Sử dụng tam giác đồng dạng để dựng hình

• Dựng một tam giác bất kì đồng dạng với tam giác phải dựng.
• Dùng điều kiện về độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC có AB = 9cm, BC = 7cm và AC = 12cm. Chứng minh rằng $\widehat{B}=2\widehat{C}$

Hướng dẫn:

Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC thì AD = 9 + 7 = 16 và $\widehat{C_{1}}=\widehat{D}$ vì $\Delta $BDC cân tại B.

Ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

$\frac{AC}{AD}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$

Xét $\Delta $ABC và $\Delta $ACD có:

chung $\widehat{A}$

$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta ACD$

$\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{D}$

Do đó: $\widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{C}+\widehat{D}=2\widehat{C}$

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD có AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho AE = 8cm, đường thẳng DE cắt BC ở F. Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF biết rằng DE = 10cm.

Hướng dẫn:

ABCD là hình bình hành nên AD // BC. Hay AD // BF

$\Rightarrow \Delta BEF\sim \Delta AED$

$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{BF}{AD}=\frac{EB}{EA}$

Hay $\frac{EF}{10}=\frac{BF}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow $ EF = 5(cm); BF = 4(cm)

2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để tính toán

- Sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng để tính độ dài đoạn thẳng, tính góc

• Thường sử dụng các trường hợp thứ ba hoặc thứ hai, trong đó yếu tố góc là góc vuông hoặc trường hợp đồng dạng cạnh huyền - cạnh góc vuông.
• Sử dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng, thay đổi số rồi giải phương trình.
• Sử dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, tìm ra góc tương ứng bằng nhau

- Tính tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Sử dụng các định lí:

• Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

- Sử dụng tam giác vuông đồng dạng để chứng minh đẳng thức hình học

• Tìm các tam giác vuông đồng dạng
• Lập và biến đổi các đoạn thẳng tỉ lệ

Ví dụ 3: Cho $\Delta $ABC có BC = 15cm, đường cao AH = 10cm. Một đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D và E. Tính độ dài DE, biết rằng DE bằng khoảng cách từ D đến BC.

Hướng dẫn:

Gọi K là giao điểm của AH và DE.

Do AH $\perp $ BC và DE // BC

$\Rightarrow AH\perp DE$ tại K, nên khoảng cách từ D đến BC bằng KH.

Từ giả thiết DE bằng khoảng cách từ D đến BC nên đặt DE = KH = x thì AK = 10 - x.

Vì DE // BC nên $\Delta ADE\sim \Delta ABC$, do đó tỉ số hai đường cao AK và AH bằng tỉ số đồng dạng $\frac{AK}{AH}=\frac{DE}{BC}$

Hay $\frac{10-x}{10}=\frac{x}{15}=\frac{10-x+x}{10+15}=\frac{10}{25}$

$\Leftrightarrow x=\frac{15.10}{25}=6$ (cm)

Vậy DE = 6cm.

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD (AC > AB). Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là hình chiếu của C trên AD và H là hình chiếu của B trên AC.

Chứng minh rằng:

a) AB.AE = AC.AH

b) BC.AK = AC.HC

c) AB.AE + AD.AK = $AC^{2}$

Hướng dẫn:

a) $\Delta $AHB và $\Delta $AEC có:

$\widehat{H}=\widehat{E}=90^{\circ}$

chung $\widehat{A}$

$\Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta AEC$

$\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow $ AB.AE = AC.AH (1)

b) $\Delta $AKC và $\Delta $CHB có:

$\widehat{C_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (hai góc so le trong)

$\widehat{H}=\widehat{K}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta AKC \sim \Delta CHB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AK}{CH}=\frac{AC}{CB}\Rightarrow $ CB.AK = AC.CH (2)

Lại có BC = AD (theo tính chất về cạnh của hình bình hành ABCD)

Thay BC = AD vào đẳng thức (2) ta được: AD.AK = AC.CH

c) Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được:

AB.AE + AD.AK = AC(AH+CH)=AC.AC = AC$^{2}$