A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chứng minh hai đường thẳng song song
- Sử dụng định lí Ta-lét, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng
- Áp dụng định lí Ta-lét đảo, kết luận hai đường thẳng song song.
Ví dụ 1 : Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD ở E. Đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng minh rằng EG // CD.
Hướng dẫn:
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét cho AE // BC và BG // AD, ta được:
$\frac{OE}{OB}=\frac{OA}{OC}; \frac{OB}{OD}=\frac{OG}{OA}$
$\Rightarrow \frac{OE}{OB}.\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}.\frac{OG}{OA}$
$\Rightarrow \frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OC}$
Điều này chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh OD, OC của $\Delta $OCD và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên EG // DC (theo định lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD và điểm E trên cạnh BC. Qua C vẽ đường thẳng song song với AE cắt AD ở K. Chứng minh rằng BK // DE.
Hướng dẫn:
Gọi I, M lần lượt là giao điểm của AE với BK và CK với AB.
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét cho AI // MK và IE // KC thu dược:
$\frac{AI}{MK}=\frac{BI}{BK}$
$\frac{BI}{BK}=\frac{IE}{KC}$
$\Rightarrow \frac{AI}{MK}=\frac{IE}{KC}\Rightarrow \frac{AI}{IE}=\frac{MK}{KC}$ (1)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho MA // DC ta được:
$\frac{MK}{KC}=\frac{AK}{KD}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{AI}{IE}=\frac{AK}{KD}$.
Điều này chứng tỏ đường thẳng KI cắt hai cạnh AD của $\Delta $ADE và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên KI // DE hay KB // DE.
B. Bài tập & Lời giải
1. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng O song song CD cắt DA ở F. Chứng minh FE // DB.
2. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua giao điểm của hai đường chéo lần lượt cắt AB và CD ở M, N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC ở E. Đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F. Chứng minh rằng BE // CF.
3. Cho $\Delta $ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm I và K. Vẽ IM // BK và KN // CI (M $\in $ AC; N $\in $ AB). Chứng minh rằng MN // BC.
4. Cho $\Delta $ABC có các đường cao BD, CE. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm F và G sao cho BD = BF; CE = CG. Chứng minh rằng FG // BC.