1. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng O song song CD cắt DA ở F. Chứng minh FE // DB.
2. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua giao điểm của hai đường chéo lần lượt cắt AB và CD ở M, N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC ở E. Đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F. Chứng minh rằng BE // CF.
3. Cho $\Delta $ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm I và K. Vẽ IM // BK và KN // CI (M $\in $ AC; N $\in $ AB). Chứng minh rằng MN // BC.
4. Cho $\Delta $ABC có các đường cao BD, CE. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm F và G sao cho BD = BF; CE = CG. Chứng minh rằng FG // BC.
Bài Làm:
1.
Áp dụng định lí Ta-lét vào $\Delta $ABC và $\Delta $ACD có EO // BC, OF // CD, ta được:
$\frac{AE}{EB}=\frac{AO}{OC}$
$\frac{AF}{FD}=\frac{AO}{OC}$
$\Rightarrow \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$
Điều này chứng tỏ đường thẳng EF cắt hai cạnh AB, AD của $\Delta $ABD và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên EF // DB.
2.
Gọi giao điểm của AC và BD là O.
Từ giả thiết ME // CD và NF // AB suy ra ME // CN và NF // BM.
ME // CN $\Rightarrow \frac{EO}{OC}=\frac{MO}{ON}$ (theo định lí Ta-lét)
NF // BM $\Rightarrow \frac{BO}{OF}=\frac{MO}{ON}$ (theo định lí Ta-lét)
$\Rightarrow \frac{EO}{OC}=\frac{BO}{OF}$
Điều này chứng tỏ đường thẳng BE cắt hai cạnh OC, OF kéo dài của $\Delta $OCF và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên BE // CF.
3.
$\Delta $ACI có NK // IC
$\Rightarrow \frac{AN}{AI}=\frac{AK}{AC}$ (1) (theo định lí Ta-lét)
$\Delta $AKB có IM // BK
$\Rightarrow \frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AK}$ (2) (theo định lí Ta-lét)
Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được:
$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$
Điều này chứng tỏ đường thẳng MN cắt hai cạnh AB, AC của $\Delta $ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên MN // BC.
4.
Ta tính diện tích $\Delta $ABC theo hai cách:
S = $\frac{1}{2}$BD.AC = $\frac{1}{2}$BF.AC (do BD = BF theo giả thiết)
S = $\frac{1}{2}$CE.AB = $\frac{1}{2}$CG.AB (do CG = CE theo giả thiết)
$\Rightarrow BF.AC = CG.AB$
$\Rightarrow \frac{BF}{BA}=\frac{CG}{CA}$
Điều này chứng tỏ đường thẳng FG cắt hai cạnh AB, AC của $\Delta $ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên FG // BC.