Cách giải bài toán dạng: Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta đề cập đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đơn giản hay gặp trong Đại số 8. Đó là biểu thức dạng đa thức mà thường dưới dạng tam thức bậc hai; hoặc dạng phân thức mà mẫu số có dạng tam thức bậc hai.

Ta hay sử dụng biến đổi tam thức bậc hai về dạng hăng đẳng thức là bình phương nhị thức, như sau:

$ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$

Do $\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}\geq 0$ nên ta có:

Nếu a > 0 thì $ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\geq -\frac{b^{2}-4ac}{4a}$ hay $ax^{2}+bx+c$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng -$\frac{b^{2}-4ac}{4a}$ khi $x=-\frac{b}{2a}$

Nếu a < 0 thì $ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\leq -\frac{b^{2}-4ac}{4a}$ hay $ax^{2}+bx+c$ đạt giá trị lớn nhất bằng -$\frac{b^{2}-4ac}{4a}$ khi $x=-\frac{b}{2a}$

Đối với biểu thức phân thức, nếu tử thức là hằng số thì giá trị của biểu thức là nhỏ nhất khi mẫu thức lớn nhất và ngược lại, giá trị phân thức là lớn nhất khi mẫu thức nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = $-x^{2}+3x-5$

Hướng dẫn:

Ta có:

A = $-x^{2}+3x-5=-(x^{2}-3x+\frac{9}{4})-\frac{11}{4}$

  = $-\left ( x-\frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{11}{4}$

Có $-\left ( x-\frac{3}{2} \right )^{2}\leq 0$ nên A = $-\left ( x-\frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{11}{4}$ $\leq \frac{-11}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của A là -$\frac{-11}{4}$ khi x = $\frac{3}{2}$

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\frac{2}{6x-5-9x^{2}}$

Hướng dẫn:

Ta có :

M = $\frac{2}{6x-5-9x^{2}}=\frac{-2}{9x^{2}-6x+5}=\frac{-2}{(3x-1)^{2}+4}$

Do $(3x-1)^{2}+4\geq 4$ nên $\frac{1}{(3x-1)^{2}+4}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{-2}{(3x-1)^{2}+4}\geq \frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng $\frac{-1}{2}$ khi x = $\frac{1}{3}$