Cách giải bài toán dạng: Chứng minh bất đẳng thức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta sử dụng khái niệm bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức.

Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a > b (hoặc a < b, a $\geq $ b, a $\leq $ b)

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức:

• Chứng minh bằng định nghĩa: để chứng minh bất đẳng thức a > b, ta xét hiệu a - b và chứng minh hiệu này là số dương.
• Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương: để chứng minh a > b ta a > b $\Leftrightarrow $ a - b > 0 và chứng minh bất đẳng thức này đúng.
• Ngoài ra còn có phương pháp phản chứng, chứng minh xuất phát từ bất đẳng thức đúng và phương pháp dựa vào bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức côsi, bunhiacôpski, ...

Các tính chất của bất đẳng thức:

• a>b, b>c $\Rightarrow $ a>c (tính chất bắc cầu)
• a>b $\Rightarrow $ a+c > b+c (tính chất cộng với 1 số)
• a>b; c>0 $\Rightarrow $ ac > bc (tính chất nhân hai vế với một số)
• a>b; c<0 $\Rightarrow $ ac < bc

Lưu ý trường hợp bất đẳng thức có dạng a $\geq $ b, a $\leq $ b thì khi chứng minh phải xét trường hợp xảy ra dấu bằng.

Ví dụ 1: Cho a<b, hãy chứng minh:

a) 3a + 1 < 3b + 1

b) -2a - 5 > -2b - 5

Hướng dẫn:

a) Xét hiệu: 3a+1 - (3b+1) = 3a - 3b = 3(a-b) < 0 (do a<b)

Do đó 3a+1 < 3b +1

b) Ta có a<b, mà -2<0 nên -2a > -2b

Do đó -2a-5 > -2b-5

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi số dương a, b ta luôn có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Hướng dẫn:

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy với a, b là các số dương thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$