1. Cho a, b là các số dương chứng tỏ rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
2. Chứng tỏ rằng với mọi số thực a ta luôn có $a(a+2)< (a+1)^{2}$
3. Cho a, b là các số dương chứng tỏ rằng $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
4. Chứng tỏ rằng diện tích hình vuông có cạnh là 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi
5. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có: $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$
Bài Làm:
1. Ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab}\geq 2\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$, dấu "=" xảy ra khi a = b
2. Ta có:
$a(a+2)< (a+1)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+2a<a^{2}+2a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
Vậy $a(a+2)< (a+1)^{2}$
3. Ta có:
$(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4\Leftrightarrow 1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}\geq 4\Leftrightarrow 2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 4\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ (chứng minh ở câu 1)
Vậy $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$, dấu "=" xảy ra khi a = b
4. Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là a, b (a, b > 0)thì a+b=20. Yêu cầu của đề bài tương đương với $a.b \leq 100$ với a+b=20
Chứng minh : $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow 20^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq 100$ (đpcm)
Vậy diện tích hình vuông có cạnh là 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi, dấu "=" xảy ra khi a = b.
5. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số thực ta có:
$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
$a^{2}+1\geq 2a$
$b^{2}+1\geq 2b$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+a^{2}+1+b^{2}+1\geq 2ab+2a+2b$
$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+1)\geq 2(ab+a+b)$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$
Vậy $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$, dấu "=" xảy ra khi a = b = 1.