1. Cho $\Delta $ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, điểm E đối xứng với H qua AC. Chứng minh rằng:
a) Đoạn thẳng AD đối xứng với AH, đoạn thẳng BD đối xứng với BH qua trục AB. Đoạn thẳng AE đối xứng với AH, đoạn thẳng CE đối xứng với CH qua trục AC.
b) $\Delta $ADB đối xứng với $\Delta $AHB qua trục AB, $\Delta $AEC đối xứng $\Delta $AHC qua trục AC
2. Cho $\Delta $ABC, trung tuyến BD. Gọi E đối xứng với B qua A, I đối xứng với B qua D, F đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với F qua I.
3. Cho $\Delta $ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với E qua AH.
Bài Làm:
1.
a) Từ giả thiết điểm D đối xứng với H qua đường thẳng AB, điểm E đối xứng với H qua AC mà A, B đối xứng với chính nó qua AB nên AD đối xứng với AH qua AB, BD đối xứng với BH qua AB.
Lại có A, C đối xứng với chính nó qua AC nên AE đối xứng với AH qua AC, CE đối xứng với CH qua AC.
a) Từ câu a) suy ra $\Delta $ADB đối xứng với $\Delta $AHB qua trục AB và $\Delta $ACE đối xứng với $\Delta $AHC qua trục AC.
2.
Từ giả thiết ta có A, D, C lần lượt là trung điểm của BE, BI, BF nên AD, DC thứ tự là đường trung bình của $\Delta $BEI và $\Delta $BIF
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên và giả thiết BD là trung tuyến vào $\Delta $ABC, ta được:
- AD // EI; DC // IF
- AD = $\frac{1}{2}$EI; DC = $\frac{1}{2}$IF; AD = DC
$\Rightarrow $ E, I, F thẳng hàng và EI = IF
Điều này chứng tỏ I là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua I.
3.
Từ giả thiết và định nghĩa $\Delta ABC cân tại A nên ta có AB = AC (1); BD = CE (2).
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được AD = AE nên $\Delta $ADE cân tại A.
Vì $\Delta $ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A.
Do $\Delta $ADE cân tại A, AH là tia phân giác của góc A nên AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.