1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1$
b) $\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}$
c) $\frac{x^{3}-4x^{2}+8}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}-2x-4}{x+2}$
d) $\frac{x^{2}-xy-x+y}{x^{2}+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
2. Chứng tỏ rằng:
a) $x^{3}+1$ chia hết cho x+1
b) $\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x+1}$
3. a) Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có $(n^{3}-n)\vdots 3$
b) Áp dụng: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên a, b ta luôn có $(a^{3}b-ab^{3})\vdots 6$
Bài Làm:
1. a) Ta có:
$\frac{x^{3}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=x^{2}+x+1$
Vậy $\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1$
b) $\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}$
$\Leftrightarrow (x^{5}-1)(x+1)=(x^{2}-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$
$\Leftrightarrow x^{6}+x^{5}-x-1=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$
$\Leftrightarrow x^{6}+x^{5}-x-1=x^{6}+x^{5}-x-1$
Vậy $\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}$
c) $\frac{x^{3}-4x^{2}+8}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}-2x-4}{x+2}$
$\Leftrightarrow (x^{3}-4x^{2}+8)(x+2)=(x^{2}-2x-4)(x^{2}-4)$
$\Leftrightarrow x^{4}-4x^{3}+8x+2x^{3}-8x^{2}+16=x^{4}-2x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+8x+16$
$\Leftrightarrow x^{4}-2x^{3}-8x^{2}+8x+16=x^{4}-2x^{3}-8x^{2}+8x+16$
Vậy $\frac{x^{3}-4x^{2}+8}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}-2x-4}{x+2}$
d) $\frac{x^{2}-xy-x+y}{x^{2}+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
$\Leftrightarrow (x^{2}-xy-x+y)(x+y)=(x^{2}+xy-x-y)(x-y)$
$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}y-x^{2}+xy+x^{2}y-xy^{2}-xy+y^{2}=x^{3}+x^{2}y-x^{2}-xy-x^{2}y-xy^{2}+xy+y^{2}$
$\Leftrightarrow x^{3}-xy^{2}-x^{2}+y^{2}=x^{3}-xy^{2}-x^{2}+y^{2}$
Vậy $\frac{x^{2}-xy-x+y}{x^{2}+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
2.
a) Ta có: $x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$ do đó $x^{3}+1$ chia hết cho x+1
b) $\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x+1}$
Ta có: $\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{2}(x^{2}-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{x^{2}(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x+1}$
Vậy $\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x+1}$
3. a) Ta có: $n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1)$
Với n là số nguyên thì (n-1), n, (n+1) là ba số nguyên liên tiếp.
Do đó trong ba số đó luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3.
Vậy với mọi số nguyên n, ta luôn có $(n^{3}-n)\vdots 3$
b) Ta có: $a^{3}b-ab^{3}=a^{3}b-ab-ab^{3}+ab=ab(a^{2}-1)-ab(b^{2}-1)=ba(a-1)(a+1)-ab(b-1)(b+1)$
Theo câu a ta có a(a-1)(a+1) và b(b-1)(b+1) chia hết cho 3. Mà trong hai số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2. Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó a(a-1)(a+1) và b(b-1)(b+1) chia hết cho 6.
Vậy với mọi số nguyên a, b ta luôn có $(a^{3}b-ab^{3})\vdots 6$