5. Cho $\Delta $ABC có AB = 4cm; BC = 6cm; CA = 5cm, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I.
a) Tính độ dài AD, DC.
b) Tính tỉ số diện tích $\Delta $DAE và $\Delta $ABC.
6. Cho $\Delta $ABC có AB = 8cm; AC = 12cm, đường phân giác AD. Trên đoạn AD lấy điểm E sao cho $\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số $\frac{AK}{KC}$
7. Cho $\Delta $ABC có BC = a; CA = b; AB = c. Các đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau ở I. Chứng minh rằng:
a) $\frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}$
b) $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=1$
Bài Làm:
5.
a) Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\Delta $ABC ta được:
$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{CB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow $ AD = $\frac{2}{5}$AC = 2(cm); DC = $\frac{3}{5}$AC = 3(cm)
b) Ta có:
$\frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$ (1)(vì chung đường cao kẻ từ E đến AC)
$\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AB}$ (vì chung đường cao kẻ từ C đến AB)
Áp dụng tính chất của đường phân giác CE vào $\Delta $ABC ta được:
$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{EB}{BC}$
Hay $\frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{AE+EB}{5+6}=\frac{AB}{11}$
$\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{5}{11}$
$\Rightarrow \frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{5}{11}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}.\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{5}.\frac{5}{11}=\frac{2}{11}$
Hay $\Rightarrow \frac{S_{DAE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{11}$
6.
Kẻ EI // BK thì DI // EK.
Áp dụng định lí Ta-lét vào $\Delta $AID và $\Delta $BKC có DI // EK và DI // BK, ta được:
$\frac{AK}{KI}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}\Rightarrow AK=\frac{3KI}{2}$ (1)
$\frac{CK}{KI}=\frac{CB}{BD}$ (2)
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\Delta $ABC ta được:
$\frac{CD}{DB}=\frac{CA}{AB}$ hay $\frac{CD}{DB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{CD}{2}=\frac{DB}{3}=\frac{CD+DB}{2+3}=\frac{BC}{5}$
$\Rightarrow \frac{CB}{BD}=\frac{5}{3}$ (3)
Thay (3) vào (2) ta được:
$\frac{CK}{KI}=\frac{5}{3}\Rightarrow CK=\frac{5KI}{3}$ (4)
Chia theo vế đẳng thức (1) và (4) ta được:
$\frac{AK}{KC}=\frac{3KI}{2}:\frac{5KI}{3}=\frac{9}{10}$
7.
a) Áp dụng tính chất của các đường phân giác AD và BI vào $\Delta $ABC và $\Delta $ABD ta được:
$\frac{DI}{IA}=\frac{DB}{BA}=\frac{DB}{c}$ (1)
$\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{CA}$ hay $\frac{DB}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{BC}{b+c}=\frac{a}{b+c}$
$\Rightarrow DB=\frac{ac}{b+c}$ (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
$\frac{DI}{IA}=\frac{ac}{c(b+c)}=\frac{a}{b+c}$
$\Rightarrow \frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{DI+IA}{a+b+c}=\frac{AD}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}$ (3)
b) Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng được:
$\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c}$ (4); $\frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}$ (5)
Cộng theo vế các đẳng thức (3), (4) và (5) ta được:
$\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$