4. Cho $\Delta $ABC và điểm D thuộc cạnh BC. Qua D hãy dựng hai đường thẳng chia $\Delta $ABC thành ba phần có diện tích bằng nhau.
5. Cho tứ giác ABCD và điểm E thuộc cạnh AB (diện tích $\Delta $ADE, $\Delta $BCE nhỏ hơn nửa diện tích tứ giác). Hãy dựng một đường thẳng đi qua E chia tứ giác đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài Làm:
4.
Trường hợp 1: M trùng với B hoặc C.
Chia AC thành ba phần bằng nhau bằng cách trên cạnh AC lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
Khi đó $S_{ABD}=S_{DBE}=S_{EBC}$ (chiều cao từ B đến AC bằng nhau, đáy bằng nhau)
Vậy BD và BE là hai đường thẳng cần tìm (M trùng với C làm tương tự)
Trường hợp 2: M khác B và C.
Qua B kẻ một đường thẳng song song với AM cắt AC tại A1.
Chia A1C thành ba phần bằng nhau bằng cách lấy hai điểm N1, N2 sao cho A1N1 = N1N2 = N2C
Khi $S_{ABM}>\frac{1}{2}S_{ABC}$ thì MN1, MN2 là hai đường thẳng cần tìm.
Nếu N1 không thuộc AC thì ta kẻ N1K // AM thì ta được SN1AK = SAKM $\Leftrightarrow $ SAKMN2 = SMN2C
5.
Qua A, B kẻ các đường thẳng theo thứ tự song song với ED, EC cắt đường thẳng CD lần lượt ở M, N. Khi đó khoảng cách từ A và M đến DE bằng nhau, từ B và N đến EC bằng nhau. Ta có:
SDEM = SDEA; SCEN = SCEB nên SABCD = SEMN
Bài toán trở thành từ E kẻ một đường thẳng chia $\Delta $EMN thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Do đó trung tuyến EI là đường thẳng cần dựng.