1. Chứng minh công thức tính diện tích tam giác S = p.r trong đó p là nửa chu vi và r là khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
2. Ở một sàn giao dịch bất động sản, người ta quảng cáo bán một hồ hình tam giác và ba mảnh đất hình vuông dựng trên ba cạnh hồ. Diện tích ba mảnh đất đó thứ tự bằng 74ha, 116 ha và 370 ha. Bảng quảng cáo không nói rõ diện tích của hồ, làm nhiều người thắc mắc, không rõ diện tích hồ lớn hay bé. Bạn hãy tính giúp xem diện tích của hồ bằng bao nhiêu?
3. Cho lục giác ABCDEF có các cạnh đối diện AB và DE, BC và EF, CD và FA đôi một song song với nhau. Chứng minh rằng $S_{ACE}=S_{BDE}$
Bài Làm:
1.
Xét $\Delta $ABC có a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và r là khoảng cách từ giao điểm của các đường phân giác đến các cạnh.
Vì p là nửa chu vi nên p = $\frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng tính chất cộng diện tích vào $\Delta $ABC ta có:
$S_{ABC}=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}$
= $\frac{a.r}{2}+\frac{b.r}{2}+\frac{c.r}{2}=r.\frac{a+b+c}{2}=p.r$
2.
Nhận xét:
74 = $7^{2}+5^{2}$
116 = $10^{2}+4^{2}$
370 = $(10+7)^{2}+ (5+4)^{2}$
Vẽ $\Delta $ABC vuông ở A có AB = 5 + 4; AC = 10 + 7.
Dựng hình chữ nhật ADKE như hình vẽ.
Theo định lý Py-ta-go ta có: $BC^{2}= 370$; $BK^{2}=74$; $KC^{2}=116$
Vậy ba cạnh của $\Delta $BKC chính là ba cạnh của hồ nước.
Do đó:
$S_{BKC}=S_{ABC}-S_{BDK}-S_{KEC}-S_{ADKE}$
= $\frac{17.19}{2}-\frac{5.7}{2}-\frac{4.10}{2}-4.7$
= 11 (ha)
Vậy diện tích của hồ là 11 ha.
3.
Gọi G là giao điểm của AD và BE; K, H thứ tự là giao điểm của FC với BE, AD.
Vì AB // DE nên khoảng cách A, B đến DE bằng nhau nên $S_{DEA}=S_{DEB}$ (vì chung đáy DE, chiều cao bằng nhau)
$\Rightarrow S_{DEA}-S_{DEB}=S_{DEB}-S_{DEB}$
$\Leftrightarrow S_{AGE}=S_{BDG}$ (1)
Chứng minh tương tự ta cũng được:
$S_{EKC}=S_{BKF}$ (2)
$S_{EKC}=S_{FHD}$ (3)
$S_{EKC}=S_{GHK}$ (4)
Cộng theo vế các đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta được:
$S_{AGE}+S_{EKC}+S_{EKC}+S_{EKC}=S_{BDG}+S_{BKF}+S_{FHD}+S_{GHK}$
$\Leftrightarrow S_{ACE}=S_{BDF}$