3. Cho $\Delta $ABC cân tại A, đường cao BH. Từ điểm M trên cạnh BC kẻ MP $\perp $ AB, MQ $\perp $ AC. Chứng minh rằng MP + MQ = BH.
4. Cho $\Delta $ABC có góc B nhọn và $\widehat{B}=2\widehat{C}$. Kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BH, gọi I là giao điểm của DH và BC. Chứng minh rằng:
a) AI = IC
b) AD = HC
Bài Làm:
3.
Kẻ MK $\perp $ BH thì ta được MK // AC và $\widehat{K}=\widehat{H}=\widehat{Q}=90^{\circ}$
Tứ giác MKHQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
$\Delta $BMP = $\Delta $MBK (cạnh huyền - góc nhọn) $\Rightarrow $ MP = BK (1)
Lại có MQ = HK (2) theo tính chất về cạnh của hình chữ nhật.
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ MP + MQ = BH
4.
Đặt $\widehat{C}=a$ thì $\widehat{B}=2a$
a) Từ giả thiết BD = BH $\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{BHD}$
Vì $\widehat{B}=2a$ là góc ngoài của $\Delta $BDH nên $\widehat{B}=2a=\widehat{D}+\widehat{BHD}$
$\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{BHD}=a$.
Mà $\widehat{DHB}=\widehat{IHC}$ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{IHC}=a$ (1)
$\Rightarrow \widehat{HAI}=\widehat{AHI}=90^{\circ}-a$ (2)
Từ (1) $\Rightarrow $ HI = IC
Từ (2) $\Rightarrow $ IA = IH
$\Rightarrow $ IH = IA = IC
Vậy IA = IC
b) Do I là trung điểm của AC nên chọn AC là một đường chéo
Vẽ thêm điểm E sao cho I là trung điểm của HE thì tứ giác AHCE là hình chữ nhật, vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và có góc H vuông.
Áp dụng định nghĩa vào hình chữ nhật AHCE ta được HC // AE
$\Rightarrow \widehat{AEH}=\widehat{EHC}=a$ (so le trong)
Lại có $\widehat{D}=a$
$\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{AEH}$
$\Rightarrow $ $\Delta $ADE cân tại A $\Rightarrow $ AE = AD.
Mà AE = HC $\Rightarrow $ AD = HC