5. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng chiều cao BH bằng đường trung bình MN.
6. Cho $\Delta $ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM và phân giác AD. Chứng minh rằng:
a) $\widehat{HAB}=\widehat{MAC}$
b) AD là tia phân giác của $\widehat{HAM}$
c) IH $\perp $ HK
Bài Làm:
5.
Gọi M, N là trung điểm của AD và BC thì MN là đường trung bình của hình thang ABCD.
Nối HN, $\Delta $BHC vuông tại H có N là trung điểm của BC nên HN = NC = $\frac{1}{2}$BC
Mà DM = $\frac{1}{2}$AD = \frac{1}{2}$BC
$\Rightarrow $ DM = HN (1)
$\Delta $HNC có HN = NC nên $\Delta $HNC cân tại N $\Rightarrow $ $\widehat{NHC}=\widehat{NCH}$
Mà $\widehat{NCH}=\widehat{MDH}$
$\Rightarrow $ $\widehat{NHC}=\widehat{MDH}$ $\Rightarrow $ DM // NH (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ tứ giác DMNH là hình bình hành
$\Rightarrow $ MN = DH (3)
Vì hình thang ABCD cân nên $\widehat{ODC}=\widehat{OCD}$
Mà OD $\perp $ OC
$\Rightarrow \widehat{ODC}=45^{\circ}$ Hay $\widehat{BDH}=45^{\circ}$
$\Delta $BHD vuông tại H có $\widehat{BDH}=45^{\circ}$
$\Rightarrow $ $\Delta $BHD vuông cân tại H
$\Rightarrow $ BH = DH (4)
Từ (3), (4) $\Rightarrow $ BH = MN (đ.p.c.m)
6.
a) Áp dụng định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông ABC ta được:
MA = $\frac{1}{2}$BC; BM = MC
$\Rightarrow $ MA = MC nên $\widehat{A_{4}}=\widehat{C}$
Lại có $\widehat{A_{1}}=\widehat{C}$ do cùng phụ với $\widehat{B}$, suy ra $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{4}}$
Vậy $\widehat{HAB}=\widehat{MAC}$ (1)
b) Vì AD là phân giác của góc A theo giả thiết nên $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow \widehat{A_{2}}=\widehat{A_{3}}$
Do đó AD là tia phân giác của $\widehat{HAM}$
c) Chứng minh tương tự câu a) ta được $\widehat{H_{1}}=\widehat{A_{1}}$ (3) và $\widehat{H_{2}}=\widehat{HAC}$ (4)
Cộng từng vế (3) và (4) ta được: $\widehat{IHK}=\widehat{A}=90^{\circ}$
Vậy IH $\perp $ HK