1. Cho $\Delta $ABC vuông tại A, từ điểm D trên cạnh huyền BC vẽ DE $\perp $ AB, DF $\perp $ AC. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.
2. Cho $\Delta $ABC cân tại A. Từ điểm D trên đáy BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở E và AC ở F. Vẽ các hình chữ nhật DBHE và CDFK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK
Bài Làm:
DE $\perp $ AB; DF $\perp $ AC nên $\widehat{DEA} = \widehat{DFA}=90^{\circ}$
Tứ giác DEAF có $\widehat{BAC}$ =$\widehat{DEA}$ = $\widehat{DFA}$ =$ 90^{\circ}$ nên nó là hình chữ nhật
Do đó AD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Mà I là trung điểm của EF nên I cũng là trung điểm của AD
Vậy A, I, D thẳng hàng.
2.
Gọi I, J là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK
Ta chứng minh được AI // DJ và DI // AJ
$\Rightarrow $ AIDJ là hình bình hành
Do đó AI // DJ và AI = DJ.
Mà J là trung điểm của DK $\Rightarrow $ AI // JK và AI = JK
$\Rightarrow $ tứ giác AIJK là hình bình hành.
$\Rightarrow $ IJ // AK và IJ = AK
Tương tự ta có AH // IJ và AH = IJ
$\Rightarrow $ A, H, K thẳng hàng và AH = AK (qua A có AH // IJ và AK // IJ nên A, H, K thẳng hàng)
Do đó A là trung điểm của HK.