Bài tập về vẽ thêm hình bình hành để chứng minh quan hệ về độ dài và tính góc

7.

Do M là trung điểm của AC theo giả thiết nên chọn AC làm một đường chéo.

Ta vẽ thêm điểm F sao cho M là trung điểm của BF thì tứ giác ABCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và đường chéo vào hình bình hành ABCF ta được BC // AF; BC = AF (1) và BF = 2BM (2)

Áp dụng tính chất hai góc trong cùng phía của BC // AF và giả thiết ta được:

$\widehat{ABC}+\widehat{BAF}=180^{\circ}; \widehat{B_{1}}=\widehat{B_{3}}=90^{\circ}$

$\widehat{B_{1}}+\widehat{B_{2}}+\widehat{B_{3}}+\widehat{ABC}=360^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{B_{2}}=\widehat{BAF}$ (3)

Từ giả thiết các tam giác ABD, BCE cùng vuông cân ở B nên BA = BD (4) và BE = BC (5)

Từ (1) và (5) ta được BE = AF (6)

Từ (3), (4)và (6) ta được $\Delta $BDE = $\Delta $ABF (c.g.c) nên DE = BF

Thay BF = DE vào (2) ta được DE = 2BM (đpcm)

8.

Do M là trung điểm của ED theo giả thiết nên chọn ED là một đường chéo.

Vẽ thêm điểm I sao cho M là trung điểm của AI thì tứ giác AEID là hình bình hành.

Do đó AD // EI, AD = EI

Có $\Delta $ABC = $\Delta $EIA (c.g.c) , chú ý $\widehat{BAC}=\widehat{IEA}$ vì cùng bù với $\widehat{EAD}$ nên $\widehat{A_{1}}=\widehat{B}$

Gọi H là giao điểm của AM với BC ta có:

$\widehat{B}+\widehat{BAH}=\widehat{A_{1}}+\widehat{BAH}=90^{\circ}$

$\Rightarrow $ AM $\perp $ BC

9.

Do M là trung điểm của DE theo giả thiết nên chọn DE là một đường chéo. Vẽ thêm điểm N sao cho M là trung điểm của BN thì tứ giác BDNE là hình bình hành nên EN // BD và EN = BD

Mà AB $\perp $ BD và AB = BD nên AB $\perp $ EN và AB = EN

Lại có EC $\perp $ AC, EC = AC.

$\Rightarrow $ $\Delta $ABC = $\Delta $ENC (c.g.c) nên BC = NC và BC $\perp $ NC

Do đó $\Delta $BMC vuông cân tại M.