1. Cho $\Delta $ABC có $\widehat{A}=50^{\circ}$, $\widehat{B}=70^{\circ}$. Các điểm D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác BDEC là hình gì? Tính các góc của nó.
2. Cho $\Delta $AKC cân tại A có đường cao AB. Kẻ BD $\perp $ AC, gọi E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng $AE \perp $ KD
3. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD; AB = 4cm; CD = 10cm; AD = 5cm. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của DE. Gọi H là chân đường cao kẻ từ E đến đường thẳng DC. Tính độ dài CH.
Bài Làm:
1.
Từ giả thiết suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC, theo định lí về đường trung bình của tam giác thì ta có DE // BC nên BDEC là hình thang.
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác ABC và tính chất góc trong cùng phía của DE // BC ta được:
$\widehat{C}=180^{\circ}-70^{\circ}-50^{\circ}=60^{\circ}$
$\widehat{D}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$
$\widehat{E}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
2.
Từ giả thiết E là trung điểm của BD, tam giác AKC cân tại A có đường cao AB ứng với cạnh đáy nên nó là đường trung tuyến hay B là trung điểm của KC. Vẽ thêm F là trung điểm của DC thì EF, BF lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BCD và tam giác KCD.
EF là đường trung bình của $\Delta $BCD nên EF // BC mà BC $\perp $ AB nên EF $\perp $ AB
Do đó EF là đường cao của $\Delta $ABF.
Mà BD là đường cao của $\Delta $ABF (BD $\perp $ AC) nên E là trực tâm của $\Delta $ABF
$\Rightarrow AE \perp BF$ (1)
Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $AKC ta được BF // KD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE $\perp $ KD
3.
Kẻ AI, BK cùng vuông góc với DC thì AI // BK, BK // CH ta được hình thang ABKI có hai cạnh bên song song.
$\Rightarrow $ AB = IK = 4cm
Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh vào hình thang cân ABCD ta được:
AD = BC và $\widehat{D}=\widehat{C};\widehat{I}=\widehat{K}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta $AID = $\Delta $BKC (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow \frac{DI}{1}=\frac{KC}{1}=\frac{DI + KC}{2}=\frac{DC-IK}{2}=\frac{10-4}{2}=3$ (cm)
Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $DEH có DB = BE, BK // CH ta được DK = KH = DI + IK = 3 + 4 = 7 (cm)
Lại có KH = KC + CH suy ra CH = KH - KC = 7 - 3 = 4 (cm)