Bài tập về tính diện tích hình thang

1.

Kẻ đường cao BH thì tứ giác ABHD có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

$\Rightarrow $ DH = AB = 2cm. Do đó HC = 6 -2 = 4.

$\Delta $BCH có $\widehat{C}=45^{\circ}$ nên vuông cân ở H 

$\Rightarrow $ BH = HC

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta được:

S = $\frac{(AB+CD).BH}{2}=\frac{(2+6).4}{2}=16(cm^{2})$

2. 

Kẻ đường cao BH thì tứ giác ABHD có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra DH = AB = 3cm.

Do đó HC = 12 - 3 = 9 (cm)

Vì $\Delta $BCH vuông tại H có $\widehat{C}=30^{\circ}$ nên BH = $\frac{1}{2}$BC = 4 (cm)

Vậy diện tích hình thang ABCD là:

S = $\frac{(AB + CD).BH}{2}=\frac{(3+12).4}{2}=30(cm^{2})$

3.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC thì EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên EF // CD và 2EF = AB + CD.

Xét $\Delta $ADH vuông tại H có E là trung điểm của cạnh huyền AD nên EH = DE = $\frac{1}{2}$AD.

Mà AD = BC; FC = $\frac{1}{2}$BC

$\Rightarrow $ EH = FC (1)

$\Delta $EDH có ED = EH nên $\Delta $EDH cân tại E $\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{EHD}$

Mà $\widehat{EDH}=\widehat{FCE}$ (hình thang ABCD cân)

$\Rightarrow \widehat{FCH}=\widehat{EHD}$

$\Rightarrow $ EH // FC (2)

Từ (1) và (2) ta được EHCF là hình bình hành.

$\Rightarrow $ EF = HC = 8 (cm)

Vậy ta được diện tích hình thang ABCD là:

S = $\frac{(AB+CD).AH}{2}=\frac{2.EF.AH}{2}=EF.AH = 8.12 = 96(cm^{2})$

4.

Xét hình thang ABCD (AB // CD) có M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Ta phải chứng minh $S_{AND}= \frac{1}{2}S_{ABCD}$

Ta có: $\Delta $ABN = $\Delta $ECN (g.c.g)

$\Rightarrow S_{ABN}=S_{ECN}$ (1) và AN = NE.

$\Rightarrow S_{ABN}+S_{ANCD}=S_{ECN}+S_{ANCD}$

$\Rightarrow S_{ABCD}=S_{AED}$ (2)

Mà $S_{AND}=S_{NED}$ (3) vì chung chiều cao kẻ từ D đến AE, đáy bằng nhau.

Từ (2) và (3) suy ra $S_{AND}=\frac{1}{2}S_{AED}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$