1. Trên đoạn BC = 13cm, đặt đoạn BH = 4cm. Trên đường vuông góc với BC tại H, đặt đoạn HA = 6cm. Chứng minh rằng $\widehat{BAC}=90^{\circ}$
2. Cho hình thang ABCD có AB = 2cm, BD = 4cm và cạnh đáy CD = 8cm. Chứng minh rằng $\widehat{A}=\widehat{DBC}$
3. Cho $\Delta $ABC cân ở A, đường phân giác BD có BC = 5cm, AC = 20cm. Tính độ dài AD, DC, BD
4. Dựng $\Delta $ABC biết $\widehat{B}=70^{\circ}, \widehat{C}=30^{\circ}$ và đường phân giác AD = 3cm.
Bài Làm:
1.
Ta có:
$\frac{AB}{AH}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\frac{AH}{HC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{AH}{HC}$
$\Rightarrow \Delta HBA\sim \Delta HAC$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{B_{1}}=\widehat{A_{1}}$ và $\widehat{C_{1}}=\widehat{A_{2}}$
$\Rightarrow \frac{B_{1}+C_{1}}{1}=\frac{A_{1}+A_{2}}{1}=\frac{B_{1}+C_{1}+\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$
Vậy $\widehat{BAC}=90^{\circ}$
2.
Ta có :
$\frac{AB}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{BD}{DC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$
$\Rightarrow \Delta BAD\sim \Delta DBC$ (c-g-c)
Theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng ta có $\widehat{A}=\widehat{DBC}$
3.
a) Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\Delta $ABC, thu được:
$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{AD+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}$
hay $\frac{AD}{20} =\frac{DC}{5}=\frac{AD+DC}{20+5}\frac{20}{20+5}=\frac{4}{5}$
Do đó AD = 16(cm), DC = 4(cm)
b) Kẻ AH $\perp $ BC, DK $\perp $ BC thì AH // DK và BH = HC = 2,5cm (tính chất của tam giác cân)
Áp dụng định lí Ta-lét vào $\Delta $ACH có AH // DK ta được:
$\frac{CK}{CH}=\frac{CD}{CA}$ hay $\frac{CK}{2,5}=\frac{4}{20}\Leftrightarrow CK=0,5$ (cm)
Do vậy BK = BC - CK = 5 - 0,5 = 4,5 (cm)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $BDK và $\Delta $DCK vuông ta được:
$CD^{2}=CK^{2}+DK^{2}$
$BD^{2}=DK^{2}+KB^{2}$
$\Rightarrow CD^{2}-CK^{2}=BD^{2}-KB^{2}$
$\Leftrightarrow 4^{2}-0,5^{2}=BD^{2}-4,5^{2}$
$\Leftrightarrow BD^{2}=36$
$\Leftrightarrow BD=6$ (cm)