1. Cho $\Delta $ABC có M là trung điểm của BC, lấy một điểm D trên cạnh BC (D khác M). Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, M, C đến đường thẳng AD. Chứng minh rằng HI = IK.
2. Cho $\Delta $ABC trung tuyến AM. Trên tia AM lấy một điểm I sao cho AI = $\frac{1}{3}$AM. Gọi D là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng AD = $\frac{1}{5}$AC. Kết quả trên thay đổi thế nào nếu AI = $\frac{1}{4}$AM.
3. Cho $\Delta $ABC trọng tâm G.
a) Một đường thẳng d đi qua G cắt hai cạnh AB, AC. Gọi D, E, F thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài AD, BE, CF.
b) Nếu đường thẳng d nằm ngoài $\Delta $ABC và I là chân đường vuông góc kẻ từ G đến d thì các độ dài AD, BE, CF, GI liên hệ với nhau như thế nào?
Bài Làm:
1.
Từ giả thiết ta có BH // MI // CK (vì cùng vuông góc với AD) và BM = MC.
Do đó BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nhau.
Do đó chúng chắn trên đường thẳng AD hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK.
2.
Gọi H, E thứ tự là trung điểm của IM và MC. Kết hợp với giả thiết AM = 3AI ta có AI = IH = HM.
Qua H, M, E lần lượt kẻ HK, MN, EP cùng song song với ID.
Ta được MN là đường trung bình của $\Delta $BDC nên DN = NC.
Từ đó ta thu được bốn đường thẳng song song cách đều là ID, HK, MN, EP nên chúng chắn trên AC năm đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là :
AD = DK = KN = NP = PC
Do đó AD = $\frac{1}{5}$AC
3.
Gọi N là trung điểm của AG và M là giao điểm của AG với BC thì BM = MC và K, H thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ N, M đến đường thẳng d. Kết hợp với giả thiết ta có:
AD // NK // MH // BE // CF
a)
Ta có BE, MH, CF là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên d hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là EG = GF. Do đó MH là đường trung bình của hình thang BEF, suy ra
BE + CF = 2HM (1), theo định lí đường trung bình.
Mặt khác AD, NK, MH cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên d ba đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là DK = KG = GH.
Do đó NK là đường trung bình của $\Delta $AGD và $\Delta $NKG = $\Delta $MHG (c.g.c)
$\Rightarrow $ AD = 2NK = 2MH
Thay 2MH = AD vào đẳng thức (1) ta được BE + CF = AD.
b)
Tương tự câu a) ta có BE, MH, CF là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng d hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là EH = HF. Do đó MH là đường trung bình của hình thang BCFE.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang BCFE, thu được: BE + CF = 2MH.
Lại có AD, NK, GI, MH cũng là bốn đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng d ba đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là:
DK = KI = IH
Do đó NK, GI thứ tự là hai đường trung bình của hai hình thang AGID và NMHK. Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang này ta được:
AD + GI = 2NK và NK + MH = 2GI hay 2NH + 2MH = 4GI (2)
Thay 2MH = BE + CF và 2NK = AD + GI vào đẳng thức (2) ta được:
AD + BE + CF = 3GI