1. Cho hình bình hành ABCD có AC $\perp $ CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình thoi.
2. Cho $\Delta $ABC cân tại A, đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, I là trung điểm của DE. Tứ giác MHIK là hình gì? Vì sao?
3. Cho hình thoi ABCD. Trên hai cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM = DN. Gọi P, Q thứ tự là giao điểm của AM và AN với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác APCQ là hình thoi.
Bài Làm:
1.
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:
AB // CD
AC $\perp $ CD
$\Rightarrow AB \perp AC$. Do đó $\Delta $ABC vuông ở A, $\Delta $ACD vuông ở C.
Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC và ACD
Do đó AN = $\frac{1}{2}$BC; CM = $\frac{1}{2}$AD
Mà AD = BC; AM = MD; BN = NC
$\Rightarrow $ AM = MC = CN = NA
Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
2.
Xét $\Delta $BDC và $\Delta $CEB là 2 tam giác vuông có:
chung BC
$\widehat{DCB}=\widehat{EBC}$ ($\Delta $ABC cân tại A)
$\Rightarrow $ $\Delta $BDC = $\Delta $CEB
$\Rightarrow $ EB = DC (1)
Dễ thấy ED // BC nên tứ giác DEBC là hình thang. (2)
Từ (1), (2) ta được tứ giác DEBC là hình thang cân.
Có: MK $\perp $ AC; BD $\perp $ AC nên MK // BD.
$\Delta $BDC có M là trung điểm của BC; MK // BD nên MK là đường trung bình của $\Delta $BDC
$\Rightarrow $ K là trung điểm của DC và MK = $\frac{1}{2}$DB
Ta lần lượt chứng minh MH, HI, IK cũng là đường trung bình của các tam giác $\Delta $BEC, $\Delta $BED, $\Delta $EDC
$\Rightarrow $ HM = $\frac{1}{2}$EC; HI = $\frac{1}{2}$BD; IK = $\frac{1}{2}$EC.
Mà EC = BD (do DEBC là hình thang cân)
$\Rightarrow $ HI = IK = KM = MH
Vậy tứ giác HUKM là hình thoi.
3.
Tứ giác APCQ là hình thoi.
Giải thích:
$\Delta $ABM = $\Delta $ADN (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{4}}$, do đó $\widehat{A_{2}}=\widehat{A_{3}}$.
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC $\perp $ BD
$\Delta $APQ có đường cao AO là đường phân giác nên OP = OQ
Tứ giác APCQ có OP = OQ; OA = OC và AO là tia phân giác của $\widehat{PAQ}$ nên tứ giác APCQ là hình thoi.