Cách giải bài toán dạng: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chứng minh tứ giác là hình thoi, ta có thể chứng minh theo một số cách sau đây:

- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Hướng dẫn:

Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $A\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$ (1)

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ta được:

• AM = MB; CP = PD
• AQ = QD; BN = NC
• AB = CD; AD = BC

$\Rightarrow $ MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau

$\Rightarrow $ MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE và AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Hướng dẫn:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC $\perp $ BD tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD ta được:

• AB = AD
• $\widehat{B}=\widehat{D}$
• BE = DF

$\Rightarrow $ $\Delta $ABE = $\Delta $ADF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{4}}$ (1)

Điều này chứng tỏ $\Delta $AGH có đường cao AO đồng thời là đường phân giác nên $\Delta $AGH cân tại A $\Rightarrow $ HO = OG (2)

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ABCD ta được AO = OC (3)

Từ (1), (2) và (3) có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của $\widehat{HAG}$ nên nó là hình thoi.