1. Cho tứ giasc ABCD có AC $\perp $ BD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
2. Cho $\Delta $ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = AB. Gọi I là trung điểm của BE, kẻ EK $\perp $ BC (K $\in $ BC), EN $\perp $ AH (N $\in $ AH)
a) Chứng minh rằng tứ giác NEKH là hình chữ nhật.
b) $\widehat{IHA}=\widehat{IHC}$
Bài Làm:
1.
E, F là trung điểm của AB và BC nên EF là đường trung bình của $\Delta $ABC
$\Rightarrow $ EF // AC; EF = $\frac{1}{2}$AC (1)
G, H là trung điểm của CD và DA nên GH là đường trung bình của $\Delta $ADC
$\Rightarrow $ GH // AC; GH = $\frac{1}{2}$AC (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ EF // GH và EF = GH
$\Rightarrow $ tứ giác EFGH là hình bình hành.
Lại có E, H là trung điểm của AB và AD
$\Rightarrow $ EH là đường trung bình của $\Delta $ADB
$\Rightarrow $ EH // BD
Mà AC $\perp $ BD; HG // AC
$\Rightarrow $ EH $\perp $ GH
Hình bình hành EFGH có EH $\perp $ GH do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
2.
a) Tứ giác NEKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật
b) Ta đi chứng minh $\Delta $IHA = $\Delta $IHK
Xét $\Delta $ABH và $\Delta $AEN có:
- AB = AE
- $\widehat{BAH}=\widehat{AEN}$ (cùng phụ với $\widehat{ABH}$)
$\Rightarrow $ $\Delta $ABH = $\Delta $AEN
$\Rightarrow $ AH = NE. Mà NE = HK nên AH = HK
Xét $\Delta $IHA và $\Delta $IHK :
- IH chung
- AI = IK (= $\frac{1}{2}$BE)
- AH = HK
$\Rightarrow $ $\Delta $IHA = $\Delta $IHK (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{IHA}=\widehat{IHC}$