1. Kéo dài hai cạnh bên của một hình thang cân (có hai đáy không bằng nhau) thì tam giác thu được có phải là tam giác cân hay không? Vì sao?
2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại P, các cạnh bên kéo dài cắt nhau theo tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ là đường trung trực của hai đáy.
3. Một hình thang cân có đáy lớn dài 2,7m, cạnh bên dài 1m, góc tạo bởi cạnh bên và đáy lớn bằng 60$^{\circ}$. Tính độ dài của đáy nhỏ.
4. Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh BC và DB là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 4cm.
Bài Làm:
1. Câu trả lời là có.
Vì hai đáy không bằng nhau nên hai cạnh bên cắt nhau được, ta được một tam giác có một cạnh là đáy lớn hình thang cân. Tam giác này có hai góc bằng nhau (2 góc tại đáy lớn của hình thang cân) nên nó là tam giác cân.
2.
Áp dụng định nghĩa vào hình thang cân ABCD và tính chất đồng vị của AB // CD, ta có:
$\widehat{D}=\widehat{C}$
$\widehat{D}=\widehat{A_{1}}; \widehat{C}=\widehat{B_{1}}$
$\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{C}=\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$
$\Rightarrow $ QA = QB và QD = QC. Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau. Điều này chứng tỏ Q cách đều hai đoạn thẳng AB và CD nên Q thuộc đường trung trực của hai đáy.
Áp dụng tính chất về cạnh bên và đường chéo vào hình thang cân ABCD, ta xét $\Delta $ADC và $\Delta $BCD:
AD = BC
AC = BD
chung CD
$\Rightarrow $ $\Delta $ADC = $\Delta $BCD (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{D_{1}}=\widehat{C_{1}}$
Suy ra PC = PD (1), kết hợp với AC = BD ta có PA = PB (2).
Từ (1) và (2) chứng tỏ P cách đều hai đầu của hai đoạn thẳng CD và AB nên P thuộc đường trung trực của hai đáy. Vậy PQ là đường trung trực của hai đáy.
3.
Xét hình thang cân ABCD (AB // CD) có đáy lớn CD = 2,7m, cạnh bên BC = 1m và $\widehat{C}=60^{\circ}$, ta phải tính đáy nhỏ.
Kẻ BE // AD ta được hình thang ABED có hai cạnh bên BE, AD song song nên AB = DE.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nênAD = BC = 1m
Hình thang ABCD cân nên AD = BE
$\Rightarrow $ BC = BE = 1m
Mà $\widehat{C}=60^{\circ}$ nên $\Delta $BCE là tam giác đều có cạnh EC = 1m
Vậy đáy nhỏ AB = DE = 2,7 - 1=1,7 (m)
4.
Theo bài 1 ta có kéo dài hai cạnh bên hình thang cân ABCD thu được $\Delta $IDC cân tại I.
Theo giả thiết DB vừa là tia phân giác của góc D, vừa là đường cao nên tam giác IDC cân tại D suy ra nó là tam giác đều cạnh DC = CI = 8cm
Chứng minh tương tự được tam giác IAB là tam giác đều nên AB = 4cm.
Vậy chu vi hình thang cân là 20cm.