1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $3x^{2}+6x+3-3y^{2}$
b) $25-x^{2}-y^{2}+2xy$
c) $(1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2)$
d) $x^{2}-2x-4y^{2}-4y$
2. Tìm x thỏa mãn:
a) $x^{3}=x$
b) $2x^{3}+2\sqrt{2}x^{2}+x=0$
c) $\frac{2}{3}x(x^{2}-9)=0$
d) $(x+2)^{2}-(x-2)(x+2)=0$
3. Chứng minh rằng $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$
Từ đó tính:
a) $(a+b)^{2}$, biết a-b = 3 và ab = 4
b) $(a-b)^{2}$, biết a+b = 6 và ab = 8
4. a) Phân tích thành nhân tử biểu thức: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
b) Áp dụng phân tích $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$
5. Phân tích thành nhân tử biểu thức:
A = $x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$
Bài Làm:
1.
a) $3x^{2}+6x+3-3y^{2}$
= $3(x^{2}+2x+1-y^{2})$
= $3[(x+1)^{2}-y^{2}]$
= $3(x-y+1)(x+y+1)$
b) $25-x^{2}-y^{2}+2xy$
= $25-(x^{2}+y^{2}-2xy)$
= $5^{2}-(x-y)^{2}$
= $(5+x-y)(5-x+y)$
c) $(1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2)$
= $1-4x^{2}-x^{3}+4x$
= $(1-x^{3})+(4x-4x^{2})$
= $(1-x)(1+x+x^{2})+4x(1-x)$
= $(1-x)(1+5x+x^{2})$
d) $x^{2}-2x-4y^{2}-4y$
= $(x^{2}-2x+1)-(4y^{2}+4y+1)$
= $(x-1)^{2}-(2y+1)^{2}$
= $(x+2y)(x-2y-2)$
2.
a) $x^{3}=x$
$\Leftrightarrow x^{3}-x=0$
$\Leftrightarrow x(x^{2}-1)=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)=0$
$\Leftrightarrow x=0; x=1$ hoặc $x=-1$
b) $2x^{3}+2\sqrt{2}x^{2}+x=0$
$\Leftrightarrow x(2x^{2}+2\sqrt{2}x+1)=0$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{2}x+1)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
c) $\frac{2}{3}x(x^{2}-9)=0$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x(x-3)(x+3)=0$
$\Leftrightarrow x=0; x=3$ hoặc $x=-3$
d) $(x+2)^{2}-(x-2)(x+2)=0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+2-x+2)=0$
$\Leftrightarrow 4(x+2)=0$
$\Leftrightarrow x=-2$
3.
Ta có:
$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$
= $(a^{2}+2ab+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})$
= $a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}$
= $4ab$ (đpcm)
Áp dụng kết quả trên ta có:
a) Với a-b = 3 và ab = 4 thì $(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$ = $3^{2}+4.4$ = 25
b) Với a+b = 6 và ab = 8 thì $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$ = $6^{2}-8.4$ = 4
4. a) Ta có:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
= $(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}+c^{3}-3abc$
= $[(a+b)^{3}-c^{3}]-(3a^{2}b+3ab^{2}+3abc)$
= $(a+b+c)[(a+b)^{2}-c(a+b)+c^{2}]-3ab(a+b+c)$
= $(a+b+c)(a^{2}+2ab+b^{2}-ac-bc+c^{2}-3ab)$
= $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)$
b) Áp dụng ta có:
Đặt x-y = a; y-z = b; z-x = c thì a+b+c = 0. Khi đó $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ nên $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$
Vậy $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ = $3(x-y)(y-z)(z-x)$
5.
A = $x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$
= $x^{2}(y-z)-y^{2}[(y-z)+(x-y)]+z^{2}(x-y)$
= $(y-z)(x^{2}-y^{2})-(x-y)(y^{2}-x^{2})$
= $(y-z)(x+y)(x-y)-(x-y)(y+z)(y-z)$
= $(y-z)(x-y)(x+y-y-z)$
= $(y-z)(x-y)(x-z)$