1. Cho $\Delta $ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Qua D và E kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB, AC lần lượt ở K và H. Tứ giác KHED là hình gì? VÌ sao?
2. Cho một hình chữ nhật có hai cạnh kể không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.
3. Cho hình vuông ABCD. Trên tia AD lấy điểm E, trên tia đối của tia AD lấy điểm F, trên tia đối của tia BA lấy điểm I sao cho DE = AF = BI. Vẽ hình vuông AFGH, H thuộc cạnh AB. Chứng minh rằng tứ giác EGIC là hình vuông.
Bài Làm:
1.
Tứ giác KHED là hình vuông.
Vì $\Delta $BDK vuông có $\widehat{B}=45^{\circ}$ nên là tam giác vuông cân, do đó BD = DK
Chứng minh tương tự, HE = EC.
Vì BD = DE = EC theo giả thiết nên KD = DE = EH
Tứ giác KHED có KD // HE, KD = HE nên là hình bình hành.
Hình bình hành này có $\widehat{D}=90^{\circ}$ nên nó là hình chữ nhật.
Mà hình chữ nhật KHED có KD = DE nên nó là hình vuông.
2.
Vì $\Delta $NCD có $\widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}=45^{\circ}$ nên vuông cân tại N.
Suy ra $\widehat{N}=90^{\circ}$ và ND = NC (1)
Chứng minh tương tự, $\widehat{P}=\widehat{Q}=90^{\circ}$. Tứ giác MNPQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
$\Delta $AMD = $\Delta $BPC (g-c-g) $\Rightarrow $ MD = PC (2)
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được NM = NP
Như vậy hình chữ nhật MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
3.
Ta cần chứng minh 4 tam giác vuông EFG, IHG, CBI, CDE bằng nhau.
FG = GH = BI = DE
EF = HI = BC = CD
$\Rightarrow $ EG = GI = IC = CE và $\widehat{ICB}=\widehat{DCE}$
$\widehat{DCE}+\widehat{ECB}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{ICB}+\widehat{ECB}=90^{\circ}=\widehat{ECI}$
$\Rightarrow $ tứ giác EGIC là hình vuông.