Bài tập về tính diện tích hình vuông, tam giác vuông

4. 

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của hình thang cân ABCD (AB // CD), AC = 4cm, AC $\perp $ BD.

Tứ giác MNPQ là hình vuông cạnh 2cm nên diện tích là 4 cm$^{2}$

5. Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x và y thì diện tích tam giác vuông là S = $\frac{xy}{2}$

Theo giả thiết ta có x + y = 14 (cm), cạnh huyền bằng 10cm.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ta được:

  $10^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=14^{2}-2xy$

$\Rightarrow 2xy = 96\Leftrightarrow S=\frac{xy}{2}=24$ ($cm^{2}$)

6. 

Kẻ đường cao BH thì ta có:

S_ABCD = S_ABHD + S_BHC

Mà S_ABHD = 3.4 = 12 ($cm^{2}$)

S_BHC = $\frac{4.4}{2}=8 (cm^{2})$

Do đó S_ABCD = 12 + 8 = 20 ($cm^{2}$)

7.

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là a, b thì diện tích của nó là S = ab.

Ta có $4xy = (x+y)^{2}-(x-y)^{2}\leq (x+y)^{2}$ (*).

Dấu "=" xảy ra khi x = y.

a) Với chu vi hình chữ nhật bằng 2(x+y) = 40 $\Leftrightarrow $ x + y = 20

Thay x + y = 20 vào đẳng thức (*) ta được: S $\leq $ 100

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 10 (cm)

Vậy MaxS = 100 khi x = y = 10 (cm) hay hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này chứng tỏ trong các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 40cm thì hình vuông có cạnh 10cm là hình có diện tích lớn nhất.

b) Với xy = 100. Thay vào (*) ta được:

4.100 $\leq (x+y)^{2}\Rightarrow x+y\geq 20\Leftrightarrow 2(x+y)\geq 40$

Vậy chu vi của hình chữ nhật đạt giá trị nhỏ nhất bằng 40 khi x = y = 10

Điều này chứng tỏ trong các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 100cm$^{2}$ thì hình vuông cạnh bằng 10m có chu vi nhỏ nhất.