1. Giải các phương trình sau:
a) (2x-3) - (3x+4) = x+5
b) (3x+5) - (2x-1) = 4x-2
c) $(x+5)(x+2)-3(4x-3)=(5-x)^{2}$
d) $(x+2)^{3}-(x-2)^{3}=12x(x-1)-8$
2. Giải các phương trình sau:
a) $\frac{x-5}{100}+\frac{x-4}{101}+\frac{x-3}{102}=\frac{x-100}{5}+\frac{x-101}{4}+\frac{x-102}{3}$
b) $\frac{29-x}{21}+\frac{27-x}{23}+\frac{25-x}{25}+\frac{23-x}{27}+\frac{21-x}{29}=-5$
3. Giải và biện luận các phương trình sau với a là tham số:
a) 4x-2 = a(a-1)
b) $\frac{x-a}{3}=\frac{x+a}{3}-2$
c) a(ax-1) = x-1
d) $a^{2}x-a=ax-1$
e) $\frac{x-a}{a+1}+\frac{x-1}{a-1}=\frac{2a}{1-a^{2}}$
Bài Làm:
1.
a) (2x-3) - (3x+4) = x+5
$\Leftrightarrow 2x - 3 - 3x - 4 = x+5$
$\Leftrightarrow 2x=-12$
$\Leftrightarrow x=-6$
Vậy phương trình có nghiệm x = -6
b) (3x+5) - (2x-1) = 4x-2
$\Leftrightarrow 3x+5-2x+1=4x-2$
$\Leftrightarrow 3x=8$
$\Leftrightarrow x=\frac{8}{3}$
Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{8}{3}$
c) $(x+5)(x+2)-3(4x-3)=(5-x)^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}+7x+10-12x+9=x^{2}-10x+25$
$\Leftrightarrow 5x=6$
$\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}$
Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{6}{5}$
d) $(x+2)^{3}-(x-2)^{3}=12x(x-1)-8$
$\Leftrightarrow x^{2}+6x+9-x^{3}+6x^{2}-12x+8=12x^{2}-12x-8$
$\Leftrightarrow 12x=-24$
$\Leftrightarrow x=-2$
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
2.
a) $\frac{x-5}{100}+\frac{x-4}{101}+\frac{x-3}{102}=\frac{x-100}{5}+\frac{x-101}{4}+\frac{x-102}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{x-5}{100}-1+\frac{x-4}{101}-1+\frac{x-3}{102}-1=\frac{x-100}{5}-1+\frac{x-101}{4}-1+\frac{x-102}{3}-1$
$\Leftrightarrow \frac{x-105}{100}+\frac{x-105}{101}+\frac{x-105}{102}=\frac{x-105}{5}+\frac{x-105}{4}+\frac{x-105}{3}$
$\Leftrightarrow (x-105)\left ( \frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \right )=0$
$\Leftrightarrow x-105=0$
$\Leftrightarrow x=105$
b) $\frac{29-x}{21}+\frac{27-x}{23}+\frac{25-x}{25}+\frac{23-x}{27}+\frac{21-x}{29}=-5$
$\Leftrightarrow \frac{29-x}{21}+1+\frac{27-x}{23}+1+\frac{25-x}{25}+1+\frac{23-x}{27}+1+\frac{21-x}{29}+1=0$
$\Leftrightarrow \frac{50-x}{21}+\frac{50-x}{23}+\frac{50-x}{25}+\frac{50-x}{27}+\frac{50-x}{29}=0$
$\Leftrightarrow (50-x)\left ( \frac{1}{21}+\frac{1}{23}+\frac{1}{25}+\frac{1}{27}+\frac{1}{29} \right )=0$
$\Leftrightarrow 50-x=0$
$\Leftrightarrow x=50$
3.
a) 4x-2 = a(a-1)
$\Leftrightarrow 4x=a^{2}-a+2$
$\Leftrightarrow x=\frac{a^{2}-a+2}{4}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi a.
b) $\frac{x-a}{3}=\frac{x+a}{3}-2$
$\Leftrightarrow x-a=x+a-6$
$\Leftrightarrow 2a=6$
$\Leftrightarrow a=3$
Vậy với a=3 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm, với a $\neq $ 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
c) a(ax-1) = x-1
$\Leftrightarrow x(a^{2}-1)=a-1$
Nếu $a\neq \pm 1$ thì phương trình có nghiệm là $x = \frac{1}{a+1}$
Nếu $a=-1$ thì phương trình đã cho có dạng 0x = -2, nên phương trình vô nghiệm.
Nếu a = 1 thì phương trình đã cho có dang 0x = 0, nên phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
d) $a^{2}x-a=ax-1$
$\Leftrightarrow ax(a-1)=a-1$
Nếu $a\neq 0;a\neq 1$ thì phương trình có nghiệm là $x = \frac{a-1}{a(a-1)}=\frac{1}{a}$
Nếu a = 0 thì phương trình có dạng 0x = -1, nên phương trình vô nghiệm
Nếu a = 1 thì phương trình có dạng 0x = 0, nên phương trình nghiệm đúng với mọi x.
e) $\frac{x-a}{a+1}+\frac{x-1}{a-1}=\frac{2a}{1-a^{2}}$
Điều kiện để phương trình có nghĩa là $a\neq \pm 1$. Khi đó ta có:
$\frac{x-a}{a+1}+\frac{x-1}{a-1}+\frac{2a}{a^{2}-1}=0$
$\Leftrightarrow (x-a)(a-1)+(x-1)(a+1)+2a=0$
$\Leftrightarrow 2ax=a^{2}-2a+1$
Nếu $a\neq 0;a\neq \pm 1$ thì phương trình có nghiệm $x = \frac{a^{2}-2a+1}{2a}$
Nếu a = 0 thì phương trình có dạng 0x = 1, nên phương trình vô nghiệm