2. THÔNG HIỂU (5 câu)
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và tia Hy vuông góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm D và E sao cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh:
a) A là trung điểm của DE;
b) $PQ=\frac{1}{2}DE$
c) PQ = AH.
Câu 2. Trong Hình 8, cho biết JK = 10 cm, DE = 6.5 cm, EL = 3.7 cm. Tính DJ, EF, DF, KL
Câu 3: Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng 1 cm. Tính độ dài các đoạn PQ, PR, RQ, AB, BC, CA trong Hình 11
Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD và BC. Gọi K là giao điểm của AF và DC (Hình 12).
a) Tam giác FBA và tam giác FCK có bằng nhau không? Vì sao?
b) Chứng minh EF // CD // AB
c) Chứng minh $EF=\frac{AB+CD}{2}$
Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.
Bài Làm:
Câu 1.
a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH cân tại A.
Khi đó: $\widehat{DAP}=\widehat{HAP},\widehat{EAQ}=\widehat{HAQ}$ và AD = AH = AE.
Từ đó, suy ra được A, D, E thẳng hàng và A là trung điểm DE.
b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE => ĐPCM.
c) Có AH = AD = AE = 1 2 DE, mà $PQ=\frac{1}{2}DE\Rightarrow$ AH = PQ.
Câu 2.
D là trung điểm của JK suy ra $DJ=\frac{1}{2}JK.10=5$
E là trung điểm của JL suy ra JL = 2EL = 2 . 3,7 = 7,4 (cm)
Trong tam giác JKL có D, E lần lượt là trung điểm của JK và JL suy ra DE là đường trung bình của tam giác JKL suy ra KL = 2DE = 2 . 6,5 = 13 (cm)
Tương tự, ta có: EF là đường trung bình của tam giác JKL
suy ra $EF=\frac{1}{2}JK=\frac{1}{2}.10=5$(cm)
DF là đường trung bình tam giác JKL
Suy ra DF = $DF=\frac{1}{2}JL=\frac{1}{2}.7,4=3,7$ cm.
Câu 3:
Ta có: $AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$
$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$
$BC=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$
Xét tam giác ABC có:
P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AC
suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên $PQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$
Tương tự: $PR=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$
$RQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{10}$
Câu 4:
a) Xét tam giác FBA và FCK ta có:
$\widehat{F_{1}}=\widehat{F_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)
FB = FC (gt)
$\widehat{FBA}=\widehat{FCK}$ (AB // CD, hai góc so le trong)
Suy ra
b) $\Delta FBA=\Delta FCK$ suy ra FA = FK
Xét tam giác ADK có: EA = ED, FA = FK, suy ra EF là đường trng bình tam giác ABC nên EF // DK
Mà AB // CD suy ra EF//CD//AB
c) EF là đường trung bình tam giác ADK suy ra
$EF=\frac{1}{2}DK=\frac{1}{2}(CD+CK)$
Mà CK = BA (do $$\Delta FBA=\Delta FCK ) nên $EF=\frac{AB+CD}{2}$
Câu 5:
Xét tam giác ABC ta có:
M là trung điểm của AB (gt) ;
N là trung điểm của AC (gt) ;
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒MN//BC
⇒ Tứ giác MNPH là hình thang.
Xét tam giác ABC ta có
M là trung điểm của AB (gt) ;
P là trung điểm của BC
⇒MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ $MP=\frac{1}{2}AC$
ΔACH vuông tại H có HN là trung tuyến (N là trung điểm của AC)⇒NH=12AC. Mà MP=12AC(cmt)
⇒NH=MP
Hình thang MNPH (MN//PH) có MP=NH nên là hình thang cân.
