1. NHẬN BIẾT (5 câu)
Câu 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích
a) $8y^{3}+1$
b) $y^{3}-8$
Giải:
a) $8y^{3}+1=(2y)^{3}+13=(2y+1)\left [ (2y)^{2}-2y+12 \right ]=(2y+1)(4y^{2}-2y+1)$
b) $y^{3}-8=y^{3}-23=(y-2)(y^{2}+2y+2^{2})=(y-2)(y^{2}+2y+4)$
Câu 2: Tính
a) $(x+1)(x^{2}-x+1)$
b) $\left ( 2x-\frac{1}{2} \right )(4x^{2}+x+\frac{1}{4})$
Giải:
a) $(x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}+1$
b) $\left ( 2x-\frac{1}{2} \right )(4x^{2}+x+\frac{1}{4})=(2x-\frac{1}{2})\left [ (2x)^{2}+x+(\frac{1}{2})^{2}\right ]=(2x)^{3}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}=8x^{3}-\frac{1}{8}$
Câu 3: Viết các biểu thức sau thành đa thức
a) $(a-5)(a^{2}+5a+25)$
b) $(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})$
Giải:
a) $(a-5)(a^{2}+5a+25)=(a-5)(a^{2}+5a+5^{2})=a^{3}-5^{3}$
b) $(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})=(x+2y)(x^{2}-2xy+(2y)^{2})=x^{3}+(2y)^{3}=x^{3}+8y^{3}$
Câu 4: Với a,b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:
a) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
b) $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
Giải:
a) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$=a.a^{2}-a.ab+a.b^{2}+b.a^{2}-b.ab+b^{3}$
$=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-a^{2}b+b^{3}$
$=a^{3}+b^{3}$
b) $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
$=a.a^{2}+a.ab+a.b^{2}-b.a^{2}-b.ab-b^{3}$
$=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-a^{2}b-b^{3}$
$=a^{3}-b^{3}$
Câu 5. Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
a) $27x^{3}+1$
b) $64-8y^{3}$
Giải:
a) $27x^{3}+1=(3x)^{3}+13=(3x+1)((3x)^{2}-3x.1+12)=(3x+1)(9x^{2}-3x+1)$
b) $64-8y^{3}=4^{3}-8y^{3}=(4-8y)\left [ 4^{2} +4.8y+(8y)^{2}\right ]=(4-8y)(16+32y+64y^{2})$
2. THÔNG HIỂU (6 câu)
Câu 1. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
a) $E=(x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)$
b) $G=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)$
Giải:
a) $E=(x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)$
$=(x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)$
$=(x.x^{2}-x.3x+9x+3x^{2}-9x+27)-(x.x^{2}+x.2x+4x-2x^{2}-2.2x-2.4)$
$=(x^{3}-3x^{2}+9x+3x^{2}-9x+27)-(x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8)$
$=(x^{3}+27)-(x^{3}-8)$
$=x^{3}+27-x^{3}+8$
=35
Vậy giá trị của biểu thức E luôn luôn bằng 35 với mọi x.
b) $G=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)$
$=(8x^{3}+4x^{2}+2x-4.x^{2}-2x-1)-(8x^{3}-16x^{2}+32x+16x^{2}-32x+64)$
$=(8x^{3}-1)-(8x^{3}+64)$
$=8x^{3}-1-8x^{3}-64$
=-65
Vậy giá trị của biểu thức G luôn luôn bằng -65 với mọi x
Câu 2. Tính nhanh:
a) $18^{3}+2^{3}$
b) $23^{3}-27$
Giải:
a) $18^{3}+2^{3}$
= $(18+2)^{3}-3.18.2(18+2)$
= $20^{3}-6.18.20$
= 5840
b) $23^{3}-27$
= $(23-3)^{3}+3.23.3.(23-3)$
= $20^{3}+9.23.20$
=12140
Câu 3: Tính giá trị biểu thức:
a,$A=2(x^{3}+y^{3})-3(x^{2}+y^{2})$ biết x+y=1
b)$B=x^{3}+y^{3}+3xy$ biết x+y=1
c,$C=8x^{3}-27y^{3}$ biết xy=4 và 2x-3y=5
Giải:
a) A=-1
b) B=1
c)C=485
Câu 4. Thực hiện phép tính bằng hai cách: $(x + y)^{3}+ (x-2y)^{3}$
Giải:
Cách 1: Ta có:
$(x + y)^{3}+ (x-2y)^{3}$
$=(x+y+x-2y)\left [ (x+y)^{2}-(x+y)(x-2y)+(x-2y)^{2} \right ]$
$=(2x-y)\left [ x^{2}+2xy+y^{2}-x^{2}+2xy-xy+2y^{2}+x^{2} -4xy+4y^{2}\right ]$
$=(2x-y)\left [ x^{2}+7y^{2}-xy \right ]$
$=2x^{3}-3x^{2}y+15xy^{2}-7y^{3}$
Cách 2: Ta có:
$(x + y)^{3}+ (x-2y)^{3}$
$=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}+x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}$
$=2x^{3}-3x^{2}y+15xy^{2}-7y^{3}$
Câu 5. Cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức A = $x^{3}+3xy+y^{3}$
Giải:
Ta có:
A = $x^{3}+3xy+y^{3}$
A = $x^{3}+y^{3}+3xy$
A = $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3xy$
A = $(x+y)\left [ (x+y)^{2}-3xy \right ]+3xy$
Thay x + y = 1 vào A ta được:
A = $(x+y)\left [ (x+y)^{2}-3xy \right ]+3xy$
A = 1.(1 – 3xy) + 3xy
A = 1 – 3xy + 3xy
A = 1
Vậy A = 1
Câu 6. Cho x - y = 1. Tính giá trị biểu thức A = $x^{3}-3xy-y^{3}$
Giải:
Ta có:
A = $x^{3}-3xy-y^{3}$
A = $x^{3}-y^{3}-3xy$
A = $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-3xy$
A = $(x-y)\left [ (x-y)^{2} +3xy\right ]-3xy$
Thay x - y = 1 vào A ta được:
A = $(x-y)\left [ (x-y)^{2} +3xy\right ]-3xy$
A = 1.(1 + 3xy) - 3xy
A = 1 + 3xy - 3xy
A = 1
Vậy A = 1
3. VẬN DỤNG (6 câu)
Câu 1: Từ một khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1 (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.
Giải:
Thể tích phần còn lại:
$(2x+1)^{3}-(x+1)^{3}=\left [ 2x+1-(x+1) \right ]\left [ (2x+1)^{2}+(2x+1)(x+1)-(x+1)^{2} \right ]$
$=(2x+1-x-1)(4x^{2}+4x+1+2x^{2}+2x+x+1-x^{2}-2x-1)$
$=x(5x^{2}+5x+1)=5x^{3}+5x^{2}+x$
Câu 2:
a) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính $x^{3}+y^{3}$
b) Cho x - y = 3 và xy = 40. Tính $x^{3}-y^{3}$
Giải:
a) $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=(x+y)\left [ (x^{2}+2xy+y^{2}) -3xy\right ]$
$=(x+y)\left [ (x+y)^{2}-3xy \right ]=5(5^{2}-3\times 6)=35$
b) $x^{3}+y^{3}=(x-y)(x^{2}-xy+y^{2})=(x-y)\left [ (x^{2}-2xy+y^{2}) +3xy\right ]$
$=(x-y)\left [ (x-y)^{2}+3xy \right ]=3(3^{2}+3\times 40)=387$
Câu 3. Cho a+b=S và ab=P. Hãy biểu diễn $B=a^{3}+b^{3}$ theo S và P
Giải:
$B=a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})$
$=(a+b).\left [ (a+b)^{2}-3ab \right ]$
$=S.\left [ S^{2} -3P\right ]$
Bài 4. Cho a – b = m; a.b = n. Tính theo m, n giá trị của biểu thức C = $a^{3}-b^{3}$
Giải:
$B=a^{3}-b^{3}=(a-b).(a^{2}+ab+b^{2})$
$=(a-b).\left [ (a-b)^{2} -3ab\right ]$
$=m.(m^{2}+3n)$
Câu 5. Chứng minh rằng:
a) $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
b) $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$
Áp dụng: Tính $a^{3}+b^{3}$, biết a.b=6 và a+b=-5
Giải:
a) Biến đổi vế phải ta được:
VP=$a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}$
$a^{3}+b^{3}=VT$
b) Biến đổi vế phải ta được:
VP=$a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$
$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}=a^{3}-b^{3}=VT$
Kết luận, vậy: $ a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$
Câu 6. Tìm x, biết:
$(x-4).(x^{2}+4x+16)+x(x+5)(5-x)=12$
Giải:
$(x-4).(x^{2}+4x+16)+x(x+5)(5-x)=12$
$\Leftrightarrow x^{3}-4^{3}+x(5^{2}-x^{2})=12$
$\Leftrightarrow x^{3}-64+25x-x^{3}=12$
$\Leftrightarrow 25x=76$
$\Leftrightarrow x=\frac{76}{25}$
4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)
Câu 1: Chứng minh rằng: $(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3.(x+y).(y+z).(z+x)$
Giải:
Xét vế trái có:
$(x+y+z)^{3}$
=$(x+y)^{3}+3(x+y)^{2}z+3(x+y)z^{2}+z^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$