VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)
Câu 1: Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.
Câu 2: Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c$\neq 0$ ; a,b,c$\neq 0$và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}=\frac{1}{a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}}$
Bài Làm:
Câu 1:
Ta có: $a+b+c=1\Rightarrow (a+b+c)^{2}=1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=1 (1)$
Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow \frac{bc+ac+ab}{abc}=0\Rightarrow bc+ac+ab=0(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.
Câu 2:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}\Leftrightarrow (a+b)\left [ c(a+b+c)+ab \right ]=0$
$(a+b)(b+c)(c+a)=0$
Như vậy tương tự ta có
$\frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}=\frac{1}{a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}}$
$\Leftrightarrow (a^{2011}+b^{2011})(b^{2011}+c^{2011})(c^{2011}+a^{2011})=0$
Mà $a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k+1}b+a^{2k+2}b^{2}-...+b^{2k})\vdots (a+b)$
Như vậy ta có
$(a^{2011}+b^{2011})(b^{2011}+c^{2011})(c^{2011}+a^{2011})$
$=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)Q=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$ (theo đúng điều kiện đề bài cho)