2. THÔNG HIỂU (5 câu)
Câu 1. Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E∈AC)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE
b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.
a) Tính BC, DB, DC
b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD
Câu 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB =4 cm AC = 5 cm BC = 6cm, các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I.
a) Tính các độ dài AD DC .
b) Tính các độ dài AE, BE .
Câu 5: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: CE = 2HI
Bài Làm:
Câu 1.
a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác góc BAC
Suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)
Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)
Nên $\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$
Suy ra: $\frac{DB}{DB+DC}=1515+20$ (tính chất tỉ lệ thức)
Suy ra:
$\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}$
Nên: $DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}$cm
Do đó, $DC=BC-BD=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}$ (cm)
Xét tam giác ABC có: DE // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$ suy ra $\frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$, vậy $DE=\frac{60}{7}$ cm
b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm,
nên $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$
suy ra tam giác ABC vuông tại A
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}\times 20\times 15=150$ (cm2)
c) Kẻ AH⊥BCta có:
$SADBS_{ABC}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{75}{7}}{25}=\frac{3}{7}$
Suy ra $S_{ADB}=\frac{3}{7}\times S_{ABC}=\frac{3}{7}\times 150=\frac{450}{7}(cm^{2})$
$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC\times AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25}\right )^{2}=\frac{144}{1225}$
Suy ra $S_{DCE}=\frac{144}{1225}\times S_{ACB}=\frac{144}{1225}\times 150=\frac{864}{49}$(cm2)
$S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}=150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}$ (cm2)
Câu 2.
a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:
$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}$
suy ra BC = 5 cm
AD là tia phân giác góc A nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$
⇒ $4DB=15-3DB$
⇒ $DB=\frac{15}{7}$ (cm),
do đó $DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$ (cm)
b) Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$
⇒ $AH=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{3\times 4}{5}=\frac{12}{5}$ (cm)
Tam giác ABH vuông tại H nên:
$HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}$
Ta có: $HD=DB-HB=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}$(cm)
Tam giác ADH vuông tại H nên:
$AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$ (cm)
Câu 3:
Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác góc AMB suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$
Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác góc AMC suy ra $\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$
Mà MB = MC, do đó: $$\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC} , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC
Câu 4:
a) Theo tính chất đường phân giác: $\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AD}{2}=\frac{CD}{3}=1$
Do đó, AD = 2cm, CD = 3cm
b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:
$\Rightarrow \frac{AE}{EB}=\frac{CA}{CB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{4}{11}$
Do đó AE = $\frac{20}{11}$cm BE = $ \frac{24}{11}$ cm
Câu 5:
Ta có: $\widehat{AIE}=\widehat{BAH}+\widehat{ABI}=\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=45^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{C}=\widehat{AEI}$
Suy ra ∆AIE cân tại A => AI = AE (1).
Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có:
$\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{BH}{IH}$ (2); $\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{EC}$(3)
Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{BH}{IH}=\frac{BC}{EC}$(4)
Vì ∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2. BH
Từ đó kết hợp với (4) suy ra EC = 2. IH
