2. THÔNG HIỂU (4 câu)
Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M,N lần lược là hình chiếu của O trên AB, BC. Chứng minh $MN=\frac{1}{2}AC$
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E ∈ AC, F∈AB).
a) Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhât.
b) Chứng minh rằng tứ giác BFED là hình bình hành.
Câu 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh HG = GK = KE.
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho $\widehat{AEB}=78^{\circ}$, $\widehat{EBC}=39^{\circ}$ Tính số đo của $\widehat{BEC}$ và $\widehat{EAB}$.
Bài Làm:
Câu 1.
Tứ giác MBNO có 3 góc vuông là OMB, MBN và ONB nên góc còn lại là NOM cũng là góc vuông. Vậy MBNO là hình chữ nhật.
=> MO = BN (1)
MO//BN (hay MO//CN) (2)
N là hình chiếu của O trên BC nên NB=NC (3)
Từ (1) và (3) => MO = NC. kết hợp với (2) suy ra OMNC là hình bình hành (tứ giác cócặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> MN = OC. Mà O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên $OC=\frac{1}{2}AC$. Vậy $MN=\frac{1}{2}AC$ (đpcm)
Câu 2.
a) Tứ giác AEDF có:
AE // DF (AC // FD, E∈AC)
AF // DE (AB // DE, F∈AB)
⇒AEDF là hình bình hành.
Mà $\widehat{FAE}=90^{\circ}$ ΔABC vuông tại A)
Nên AEDF là hình chữ nhât.
b) ΔABC có D là trung điểm của BC và FD // AC ⇒F là trung điểm của AB.
ΔABC có D là trung điểm của BC và DE // AB ⇒E là trung điểm của AC
⇒ EFlà đường trung bình của tam giác ABC
⇒ EF//BC và $EF=\frac{1}{2}BC$
Lại có $BD=\frac{1}{2}BC$ (Vì D là trung điểm của BC)
⇒ EF//BD và EF=BD
Vậy tứ giác BFED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Câu 3:
a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt)
I là trung điểm của AC (gt);
Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)
Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.
Mà $\widehat{AHC}=90^{\circ}$ (AH là đường cao của tam giác ABC)
Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b) MAHC có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC)
Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC)
Mà HI cắt AM tại G (gt)
Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC ⇒ $HG=\frac{2}{3}HI$ và $GI=\frac{2}{3}HI$(1)
ΔAEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.
⇒K là trọng tâm của tam giác AEC ⇒ $KE=\frac{2}{3}IE$ và $KI=\frac{2}{3}IE$ (2)
HI=IE (E đối xứng với H qua I) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $HG=KE=\frac{2}{3}IE$
Ta có: $GK=GI+IK=\frac{1}{3}IE+\frac{1}{3}IE=\frac{2}{3}IE$ suy ra $HG=KE=GK(=\frac{2}{3}IE)$
Câu 4:
Trong tam giác EBC có: $\widehat{BEC}=180^{\circ}-(\widehat{EBC}+\widehat{BCE})=180^{\circ}-(39^{\circ}+90^{\circ})=51^{\circ}$
$\widehat{ABE}=\widehat{ABC}-\widehat{EBC}=90^{\circ}-39^{\circ}=51^{\circ}$
Trong tam giác ABE có: $\widehat{EAB}=180^{\circ}-(\widehat{ABE}+\widehat{AEB})=180^{\circ}-(51^{\circ}+78^{\circ})=51^{\circ}$
