2. THÔNG HIỂU (6 câu)
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình vẽ)
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID
Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.
a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.
Câu 4: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.
Câu 5: Quan sát hình vẽ, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.
Câu 6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42).
Chứng minh:
a) CD=MN
b) $\widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAN}$
Bài Làm:
Câu 1.
a)
Xét tam giác vuông DKC và BHA ta có:
DC = AB( hbh ABCD)
$\widehat{CDK}=\widehat{ABH}$ (hbh ABCD, AB//DC)
Suy ra ΔDKC=ΔBHA (ch-gn)
=> CK=AH
Ta có :
$AH\perp DB$
CK ⊥ DB
=> CK//AH
Xét tứ giác AKCH có:
CK//AH(cmt)
CK=AH( cmt)
=> AKCH là hình bình hành ( DHNB)
b) AKCH là hình bình hành suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của AC
ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của BD hay IB = ID
Câu 2.
a) Ta có :
$ED=\frac{1}{2}AD$ (E là trung điểm của AD)
$BF=\frac{1}{2}BC$ (F là trung điểm của BC)
Mà AD=BC (ABCD là hình bình hành)
⇒ED=BF
Mà ED // BF (AD // BC, E∈AD;F∈BC)
Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành.
b) O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD ⇒Olà trung điểm của BD
Hình bình hành EBFD có O là trung điểm của BD ⇒O là trung điểm của EF.
⇒O∈EF
Vậy E, O, F thẳng hàng.
Câu 3:
a) Ta có:
$AI=\frac{1}{2}AB$ (I là trung điểm của AB),
$CK=\frac{1}{2}CD$ (K là trung điểm của CD)
Và AB=CD(ABCD là hình bình hành)
⇒AI=CK
Mà AI // CK (AB//CD,I∈AB,K∈CD)
Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.
b) ΔABE có I là trung điểm của AB và IF//AE
Nên F là trung điểm của EB ⇒BF=EF (1)
ΔDCF có EK // FC và K là trung điểm của CD
Nên E là trung điểm của DF ⇒DE=EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE=EF=BF
Câu 4:
Theo tính chất đường trung tuyến ta có:
-$GN=\frac{1}{3}CN$, mặt khác Q là trung điểm của GC nên GN = GQ
-$GM=\frac{1}{3}BM$, mặt khác P là trung điểm của GB nên GM = MP.
Hơn nữa, 2 góc đối đỉnh NGP và QGM bằng nhau nên khi đó 2 tam giác NGP và QGM bằng nhau (c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{GNP}=\widehat{GQM}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NP//MQ
Tương tự 2 tam giác NGM và QGP cũng bàng nhau (c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{GNM}=\widehat{GQP}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NM//PQ
Vậy tứ giác MNPQ có 2 cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành (đpcm)
Câu 5:
Gọi O là trung điểm của AC
ABCD là hình bình hành có: $AC\cap BD$ tại O
=> AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,
do đó O cũng là trung điểm của BC
AKCH là hình bình hành:
$AC\cap HK$ tại O
=> AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,
do đó O cũng là trung điểm của HK
Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.
Câu 6.
Vì ABCD là hình bình hành nên cặp cạnh đối CD = AB.
Vì ABMN là hình bình hành nên cặp cạnh đối MN = AB.
=> CD = MN
Trong hình bình hành ABCD có 2 góc đối nhau BCD = DAB
$\widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAB}+\widehat{BAN}=\widehat{DAN}$ (đpcm)
Trong hình bình hành ABMN có 2 góc đối nhau BMN = BAN
(đpcm)
