Giải bài 35 Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 1: Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan át hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Hướng dẫn giải:

Ba đường trung tực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.

Hoạt động 2: Dùng tính chất đường trung thực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)

a) Tại sao OB=OC, OC=OA

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không ?

Hướng dẫn giải:

a) Gọi M là giao điểm của BC với đường trung trực của BC

=> OM là đường trung trực của BC, OM⊥ BC

Xét ∆OBM và ∆ OCM ta có:

2 tam giác đều vuông tại M

MB= MC ( M là trung điểm của CB)

OM chung

=> ∆OBM = ∆ OCM => OB= OC

Tương tự, ta có OC= OA

b) Từ câu a ta có OA=OB

=> ∆OAB là tam giác cân tại O

Kẻ ON ⊥ AB=> ON là đường trung tuyến của AB và N là trung điểm của AB

=> O thuộc đường trung trực của AB

Luyện tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi AN, CM, BP là 3 đường trung tuyến của tam giác đều ABC, giao nhau ở điểm G

Xét ∆ ANB và ∆ ANC, có:

 AN chung

NB= NC

AB= AC

=>∆ ANB = ∆ ANC

=> $\widehat{BAN}$ = $\widehat{CAN}$

=> AN hay AG là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Tương tự BP hay BG là đường phân giác của $\widehat{ABC}$

=> G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm

=> G là giao điểm của 3 đường trung trực => G cách đều 3 điểm A,B,C

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 3: Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không ?

Hướng dẫn giải:

Ba đường cao BP, CM và AN đều cùng đi qua điểm G

Luyện tập 2: 

a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

a)

Gọi AD là đường trung tuyến và đường phân giác tại đỉnh A của ∆ ABC

xét  ∆ ADB và ∆ ADC, có:

AB=AC

DB=DC

AD chung

=>∆ ADB = ∆ ADC

=>  $\widehat{ADB}$ = $\widehat{ADC}$

Mà $\widehat{ADB}$ + $\widehat{ADC}$ = 180°

=> $\widehat{ADB}$ = $\widehat{ADC}$= 90°

=>AD vuông góc với BC

mà DA=DB

=>AD là đường trung trực của tam giác ABC

b) 

G là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC đều

GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC

Xét ∆ AGB và ∆ AGC, có:

 AG chung

GB= GC

AB= AC

=> ∆ AGB = ∆ AGC

=> $\widehat{GAB}$ = $\widehat{GAC}$

=> AG là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Tương tự ta có: CG là đường phân giác của $\widehat{ACB}$

=> G là điểm giao nhau giữa 2 đường phân giác AG và CG

=> G cách đều 3 cạnh AB,AC, BC.