Giải bài 25 Đa thức một biến

1. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN

Câu hỏi 1: Cho biết hệ số và bậc của mỗi phương trình sau:

a) $2x^6$;         

b) $\frac{-1}{5}x^2$;           

c) -8;                 

d) 3^2x.

Hướng dẫn giải:

a) $2x^6$

• Hệ số: 2
• Bậc: 6

b) $\frac{-1}{5}x^2$

• Hệ số: $\frac{-1}{5}$
• Bậc: 2

c) -8

• Hệ số: -8
• Bậc: 0

d) $3^2x$

• Hệ số: $3^2$
• Bậc: 1

Câu hỏi 2: Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?

Hướng dẫn giải:

• Đơn thức bậc 3.

Luyện tập 1: Tính:

a) $5x^3 + x^3$;

b) $\frac{7}{4}x^5 – \frac{3}{4}x^5$

c) $(-0,25x^2).(8x^3)$

Hướng dẫn giải:

a) $5x^3 + x^3 = (5 + 1)x^3 = 6x^3$

b) $\frac{7}{4}x^5 – \frac{3}{4}x^5 = (\frac{7}{4} + \frac{3}{4})x^5 = \frac{5}{2}x^5$

c) $(-0,25x^2).(8x^3) = (-0,25 . 8) (x^2.x^3) = -2x^5$

2. KHÁI NIỆM ĐA THỨC MỘT BIẾN

Câu hỏi 3: Mỗi số thực có phải đa thức không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

Mỗi số thực không phải là đa thức. Bởi vì nó không có biến.

Luyện tập 2: Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức $B = 2x^4 – 3x^2 + x + 1$

Hướng dẫn giải:

Đa thức $B$ có 4 hạng tử: $2x^4$ ; $–3x^2$; $x$ và $1$

3. ĐA THỨC MỘT BIẾN THU GỌN

Luyện tập 3: Thu gọn đa thức $P = 2x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$

Hướng dẫn giải:

P = $2x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$

   = $(2x^3 + 4x^3)  -5x^2 + (4x + x) + 9$

   = $6x^3 – 5x^2 + 5x + 9$

4. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

Luyện tập 4: Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến:

a) $A = 3x – 4x^4 + x^3$;

b) $B = -2x^3 – 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 – 5$

c) $C = x^5 -  \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{4}x – x^5 + 6x^2 – 2$

Hướng dẫn giải:

a) $A = 3x – 4x^4 + x^3$

        $= -4x^4 + x^3 + 3x$

b) $B = -2x^3 – 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 – 5$

       $= (-2x^3 + 2x^3) + (-5x^2 + x^2) + 4x – 5$

       $= -4x^2 + 4x – 5$

c) $C = x^5 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{4}x – x^5 + 6x^2 – 2$

       $= (x^5 – x^5) - \frac{1}{2}x^3 + + 6x^2  + \frac{3}{4}x - 2$

       $= \frac{1}{2}x^3 + + 6x^2  + \frac{3}{4}x - 2$

5. BẬC VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC

Xét đa thức $P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1$. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức $P$ và trả lời các câu hỏi sau:

Hoạt động 1: Trong $P$, bậc của hạng tử $5x^2$ là 2 (số mũ của $x^2$). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong $P$.

Hướng dẫn giải:

Bậc của hạng tử $-3x^4$ là 4.

Bậc của hạng tử $5x^2$ là 2.

Bậc của hạng tử $2x$ là 1.

Bậc của hạng tử 1 là 0.

Hoạt động 2: Trong $P$, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Hướng dẫn giải:

Trong $P$, hạng tử $-3x^4$ có bậc cao nhất.

=> Hạng tử $-3x^4$ có hệ số là –3 và bậc là 4.

Hoạt động 3: Trong $P$, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Hướng dẫn giải:

Trong $P$, hạng tử 1 có bậc là 0.

Luyện tập 5: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) $5x^2 – 2x + 1 – 3x^4$;                             

b) $1,5x^2 – 3,4x^4 + 0,5x^2 – 1$.

Hướng dẫn giải:

a) $5x^2 – 2x + 1 – 3x^4$

• Hạng tử có bậc cao nhất là $-3x^4$, bậc của nó là 4, hệ số là -3
• Hệ số tự do là 1.

b) $1,5x^2 – 3,4x^4 + 0,5x^2 – 1$.

• Hạng tử có bậc cao nhất là $-3,4x^4$, bậc của nó là 4, hệ số là -3,4
• Hệ số tự do là -1.

6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Xét đa thức $G(x) = x^2 – 4$. Giá trị của biểu thức $G(x)$ tại $x = 3$ còn gọi là giá trị của đa thức $G(x)$ tại $x = 3$ và được kí hiệu là $G(3)$. Như vậy, ta có $G(3) = 3^2 - 4 = 5$.

Hoạt động 1: Tìm các gá trị $G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).$

Hướng dẫn giải:

• $G(-2) = (-2)^2 - 4 = 0$
• $G(-1) = (-1)^2 - 4 = -3$
• $G(0) = (0)^2 - 4 = -4$
• $G(1) = (1)^2 - 4 = -3$
• $G(2) = (2)^2 - 4 = 0$

Hoạt động 2: Với giá trị nào của x thì $G(x)$ có giá trị bằng 0?

Hướng dẫn giải:

Theo hoạt động 1, với giá trị $x = 2$ và $x = -2$ thì $G(x) = 0$.

Luyện tập 6:

1. Tính giá trị của đa thức $F(x) = 2x^2 - 3x - 2$ tại $x = -1; x = 0; x = 1; x = 2$. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức $F(x)$.

2. Tìm nghiệm của đa thức $E(x) = x^2 + x$.

Hướng dẫn giải:

1. Tính giá trị:

• $F(-1) = 3$
• $F(0) = -2$
• $F(1) = -3$
• $F(2) = 0$

=> Một nghiệm của đa thức $F(x)$ là 2.

2. Tìm nghiệm của đa thức $E(x) = x^2 + x$.

$E(0) = 0$

=> Nghiệm của đa thức $E(x)$ là 0

Vận dụng: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức $H(x) = -5x^2 + 15x$.

b) Tại sao $x = 0$ là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

d) Tính giá trị của $H(x)$ khi $x = 1; x = 2 và x = 3$ để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Hướng dẫn giải:

a) Trong đa thức $H(x)$, hạng tử $-5x^x$ có bậc cao nhất.

=> Hạng tử $-3x^4$ có hệ số là –5 và bậc là 2.

  - Hệ số tự do trong đa thức $H(x)$ là 0.

b) $x = 0$ là một nghiệm của đa thức $H(x)$vì tại $x = 0$, đa thức ta được giá trị của $H(x)$ bằng 0.

=> Kết quả đó nói lên: 0 là một nghiệm của đa thức $H(x)$ => $H(0) = 0$.

c) $H(1) = -5 . 1^2 + 15 . 1 = 10$

    $H(2) =-5 . 2^2 + 15 . 2 = 10$

    $H(3) = -5 . 3^2 + 15 . 3 = 0$

=> Kết luận:

• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 1 giây, thì độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 2 giây, thì độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 3 giây, thì vật rơi xuống mặt đất (0m).